高考数学基本不等式的应用与常见错误评析

　　基本不等式及应用是高中阶段一个重要的知识点；其方法灵活，应用广范。在学习过程中要求学生对公式的条件、形式、结论等要熟练掌握，才能灵活运用。

　　一、基本不等式：

　　1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b等号成立，

　　2.a,b∈R+，a+b≥2-，当且仅当a=b等号成立。

　　二、问题1：设ab﹤0,则:-+-的取值范围是( )

　　(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)

　　解题辨析：

　　常见错误解法：因为-与-的积为定值，其和有最小值，

　　即-+-≥2所以选择答案(D)。此解法是错的，是因为-﹤0

　　-﹤0并不满足不等式：a+b≥2-中字母的条件；

　　正确方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0

　　(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正确答案是(A)

　　问题2：已知x是正实数，求函数y=x2+-的最小值？

　　解题辨析：

　　常见错误解法：因x是正实数，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，当且仅当x2=-，即x=-时，等号成立；此解法错误的原因是x2与-的积

　　2-并不是定值。

　　正确结论：对于两个正数a与b，

　　当和为定值，当且仅当a=b时，其积有最大值；

　　当积为定值，当且仅当a=b时，其和有最小值。

　　正确方法是：因x是正实数，y=x2+-=x2+-+-

　　≥3·■=3,

　　当且仅当：x2=-等号成立，即x=1时，y=x2+-的最小值是3

　　问题3：已知x,y都是正实数，且x+4y=1，求：-+-的最小值？

　　解题辨析：

　　常见错误解法：因为x,y都是正实数1=x+4y≥2-

　　即1≥4-＞0，-+-≥

　　2-＞0，两式相乘得-+-≥8

　　所以-+-的最小值是8，此解法错误的原因是不等式x+4y≥2-取等号的条件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等号的条件是x=y，而这两个条件不可能同时成立，因此-+-≥8中的等号不成立。

　　正确方法是：x,y都是正实数，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+

　　2-=9，当且仅当-=-等号成立，

　　即当且仅当x=-，y=-时，-+-取得最小值是9

　　问题4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的最大值？

　　解题辨析：

　　常见错误解法：

　　xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3

　　即：xm+yn的最大值为3

　　此解法错误的原因是当xm+yn取得最大值3时，x=m，y=n要同时成立，即有x2+y2=m2+n2，而这是不可能的。

　　正确解法：因为x2+y2=2,m2+n2=4，两式相乘

　　8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn

　　8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-

　　即当且仅当xn=ym时，xm+yn取最大值为2-

　　总之，基本不等式解决问题并不是万能的。学习过程中，要深刻理解基本不等式的内在实质，搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键。特别对于第二个基本不等式，我们常说“一正、二定、三等号”，其意义就在于此。

　　训练题

　　一、填空题：

　　1.已知x,y都是正实数，且-+-=1,则x+y最小值是_______，

　　当且仅当x=_______,y=_______,

　　2.已知：abc均为实数，且a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最大值是________

　　最小值是_________。

　　3.已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。

　　二、选择题：

　　1.已知：a,b都是正实数，且a+b=1，则-+-的最大值是( )

　　(A)-(B)-(C)2-(D)3

　　2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,则实数c的范围是( )

　　(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]

　　三、解答题：

　　1.已知矩形的面积与其周长相等，求其面积的最小值？

　　2.⑴比较大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67

　　⑵根据上述结论作出推广，试写出一个有关于自然数n的不等式，并证明之。

　　答案：

　　一、 填空题：

　　1. x+y最小值是9， 当且仅当 x=6,y=3。

　　2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。

　　3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- ,　　二、 选择题：

　　1.(C), 2.(D)

　　三、 解答题：

　　1.16

　　2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67

　　⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要证明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。

　　华东模范中学 马兰军

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