高三各科复习：运用牛顿第二定律解动力学

　　耀华中学 赵津

　　(接22日)

　　例5.如图A、B两木块的质量分别为mA、mB，在水平推力F作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A、B间的弹力FN。

　　解：这里有a、FN两个未知数，需要建立两个方程，要取两次研究对象。比较后可知分别以B、(A+B)为对象较为简单(它们在水平方向上都只受到一个力作用)。可得FN=-F这个结论还可以推广到水平面粗糙时(A、B与水平面间μ相同)；也可以推广到沿斜面方向推A、B向上加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。

　　例6.如图，倾角为α的斜面与水平面间、斜面与质量为m的木块间的动摩擦因数均为μ，木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面仍保持静止。求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。

　　解：以斜面和木块整体为研究对象，水平方向仅受静摩擦力作用，而整体中只有木块的加速度有水平方向的分量。可以先求出木块的加速度α=g(sinα-μcosα)，再在水平方向对质点组用牛顿第二定律，很容易得到：Ff=mg(sinα+μcosα)cosα

　　如果给出斜面的质量M，本题还可以求出这时水平面对斜面的支持力大小为：

　　FN=Mg+mg(cosα+μsinα)sinα，这个值小于静止时系统对水平面的压力。

　　例7. 长L的轻杆两端分别固定有质量为m的小铁球，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴。用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放，当杆到达竖直位置时，求轴对杆的作用力F的大小和方向。

　　解：根据系统机械能守恒可求出小球1在最高点的速度v：0=mg·1/3L-mg·2/3L+1/2mv2+1/2m(2v)2， 在竖直位置对系统用牛顿第二定律，以向下为正方向，设轴对系统的作用力F向上，2mg-F=---，得到F=2.4mg

　　(4)向心力和向心加速度(牛顿第二定律在圆周运动中的应用)

　　1.做匀速圆周运动物体所受的合力为向心力

　　“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做匀速圆周运动的，都可以作为向心力。

　　2.一般地说，做圆周运动物体沿半径方向的合力为向心力。当作圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。

　　3.圆锥摆

　　圆锥摆是典型的运动轨迹在水平面内的匀速圆周运动。其特点是由物体的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。

　　例8.小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系。(小球的半径远小于R。)

　　解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。

　　如图所示有：

　　mgtan=-=mRsin2

　　由此可得：

　　v=-

　　T=2-=2-，(式中h为小球轨道平面到球心的高度)。可见，θ越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小。

　　本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

　　4.竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及结论

　　这类题的特点是：物体做圆周运动的速率是时刻在改变的，由于机械能守恒，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

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