答疑名师：陈文灯 黄先开 曹显兵(北京文登数学团队)

　　1.我感觉线性代数还是比较难，最后这一个多月应该如何复习呢？

　　答：这是最抽象的一门课程，这门课程各个专集之间是紧密联系，线性代数这个地方很难说，而其他的课程包括高等数学可以某一章单独命题，所以一般的线性代数的考题是

和前面的知识紧密联系的，如果说这一部分这个时候基本的内容还不够熟练的话，我想这个时候有一点时间紧张了，你再系统的复习也来不及，把握一些重点，通过做题再看看那些重要的定理，重要的结论没有把握。

　　2.在线性代数的复习中，怎么培养整体感？

　　答:线性代数各个章节之间联系非常紧密，行列式、矩阵、向量是一环扣一环的，这个东西的中心是什么？行列式这部分没有什么东西，大家知道行列式主要就是行列式的意义、性质等等，重点就是行列式的展开，行列式的R方展开，这个问题就是重要的公式。一个矩阵A乘上A的伴随矩阵等于A的行列式乘以单位阵，这个公式是我们行列式R方矩阵展开的方式。每一章节都有联系，所以复习的时候要把章节的重点把握住。

　　行列式没有什么东西，第二章矩阵，矩阵是一个基础，关联到整个线代，所以矩阵的运算非常重要，尤其不要做非法的运算。因为大家习惯了数的运算，在做矩阵运算的时候容易受到数的影响，所以这个地方大家要把它搞清楚。矩阵运算里一个很重要的就是初等变换。我们在解方程组，求特征向量都离不开的东西。这是我们矩阵部分的重点。

　　向量这部分是逻辑性非常强的部分，也是大家感到比较困难的，这部分的逻辑推理很强，大家一定要非常熟悉那些教材里重要的定理拿到一个题马上要能反映过来。比如说这样一个定理很多考生都觉得这个定理比较难，其实可以形象地记。当然第一个向量组由第二个向量组表示，第二个向量组线性无关，可以推出第一个向量组含向量的个数小于第二个向量组含向量的个数。这个定理多次考了，2003年单独考了这个题，是一个选择题。其实这个题大家可以换一种方式记一下，比如我习惯这样记，就是说一个线性无关的向量组不可能有一个比他的个数还少的向量组的线性表示，这句话就表示了我们前面的定理。它的几何直观就是指一个高维空间的东西不能放到低维空间，至少放到同维空间。比如一个立体的东西是放不到一个平面中去的，放不到一个直线上去的。你这样把几何直观理解后，这个定理就不会记错了。

　　方程组中，解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚，再一个就是特征值和特征向量，对于特征值对具体的你可以解一个具体的方程好了。特征向量就是求齐次方程组的基础解系，你前面基础打牢了，这里又不是新的内容。二次型的内容，对于只考数学一、数学三的同学，二次型只要把其矩阵对应写出来，其问题都可以转化为对称矩阵的对角型来讨论。所以后面的内容又联系上前面的东西。把前面的基础打牢，后面的知识自然就掌握了。

　　还是线性代数碰到解析的问题，有时候是把矩阵的问题化成线性方程组来做，有时候是把线性方程组的问题化成矩阵来解决。如果在解题过程中提到了某一个向量是另一个向量，我们就可以把这一另一向量用单位向量来替代，这样就可以很快得出结果。再一点就是方阵的特征值和特征向量，这一点广大的考研学者一定要注意，这是我们线性代数重点的重点，每年一定要在这里面出大题。

　　3.在线性代数的复习中应该注意哪些问题？

　　答：我们考研特别是线性代数这部分复习的时候应该注意哪些问题。跟高等数学和概率统计来比较的话，我们经常感觉到线性代数概念比较多，公式比较多，要记的结论也比较多。再有就是先后知识的联系特别紧密，但是数学一到四实际上我们现在这个线性代数的题量已经规定了，数学一到四都考五个题，填空选择题三个，剩下两个大题，内容实际上也刚好是三大块：行列式矩阵可以看作是线性代数的基础，这样的话有这个基础以后，向量和线性方程组可以看作是同一件事情两个不同的表现形式，再有二次型，只有数学一和三做要求了。围绕这样一个向量和线性方程组基本每年考一个大题。围绕向量和二次型某种意义上来讲，也会看作是同一件事情两个不同方面，每年考一个大题。数学二和四不要求二次型，围绕特殊向量基本上也是考一个大题。这是我们整个线性代数它的总的概况。我们希望大家复习的时候应该有针对性的把矩阵和行列式这块基础打好。然后把我们向量和线性方程组这部分典型的情况弄清楚。有针对性的进行系统的归纳和总结。这样不管考填空题还是选择题还是考大题，题一出来基本上我们就可以比较清楚的判断，拿到这种题有哪些典型的我可以分析的思路，有哪些是典型的可以求解的方法。在做题过程中间，有没有比如相应的做题技巧，有没有值得注意的一些隐含的条件，它是从哪一种角度来归类和分析的。这样的话我们总体上把握以后，拿到这种题我们就比较有信心的相应的找到一个比较简便的、快速的准确的求解的方法，这是总体概况介绍。下面我很高兴回答大家的一些具体问题。

　　4.我想问一下初等变换有哪些主要应用？

　　答：是我们矩阵里面最基础的问题，初等变换可以求向量组的秩，我们经常还会解方程组，这里头经常有同学有迷惑，我们求逆一般来讲我们构造这个矩阵是在右端加一个矩阵，我们强调行变换，我们解线性方程组时候要考虑线性矩阵和秩的问题，单纯求矩阵或者向量组的秩即可以做行变换也可以做列变换。如果我们把这个向量组当作是矩阵的列向量组，不仅仅求秩还要把其余向量线性表示，其实线性表示本质就是解方程组，这样我们跟初等变换一般情况下尽量能够习惯。

　　5.关于线性代数的证明题内容关于向量的相关性概率很高吗？

　　答：线性相关和线性无关从考过情况来看，可以直接考，有时候也可能间接的考，比如要证明这个基础解系的时候，我们涉及到这个向量组必须是线性无关的，要求证明它的线性无关，这个应该说是我们整个线性代数比较基础的问题，这种情况不见得直接考你，直接考当然也可以，但是结合我们线性方程组考，结合我们后面的向量，比如不同特征值的特征向量，通过这种形式考也是比典型的表现形式，这是我们必须要掌握的。

　　6.我是考数三感觉合同变换概念比较难理解，请老师大体讲一下？

　　答：合同变换是我们把二次型化为标准形的过程中间我们要引进的一个所谓的非退化的线性变换，也就是说我们这样一个变换的矩阵，必须是可逆的，所以我通过把二次型化为标准形的时候，我们就会发现把二次型化为标准形，转换为新的二次型它所对应的矩阵的时候，这个时候相等于对角型矩阵，但是一般我们找到一个非退化的矩阵，不见得刚好等于一个对角型矩阵，如果满足这样一个条件，我们定义这两个矩阵是合同的，就象对角化一样，那就是AP等于一个对角型的矩阵是对等，但是一般情况下不见得是对角型矩阵，我们说这两个是相似的。所以如果单纯从合同变换引出合同矩阵本身来讲，应该说这个概念不是特别难理解的，但是大家复习时候，应该注意到我有了这个合同矩阵的概念以后，这种合同矩阵它满足的相应的性质，从这个角度来理解可能就更好把握了，整个线性代数里矩阵之间有三种最典型的关系：一个两个矩阵式相似，一个两个矩阵式等价，还有两个矩阵合同，应该注意这两种关系的联系和差别，我个人认为这三种关系里面实际上等价关系是最弱的一个关系，两个矩阵是相似，两个矩阵合同，那这两个矩阵一定是等价的，但是反过来不成立。相似与合同矩阵之间不能够互相推导。但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。这就是说从整体上来看矩阵之间有三种关系，这三种关系里头的联系和差别如果能够从我刚才说这几个角度把握，我认为不管是什么矩阵，我们都能够比较好的理解和把握了。

　　7.线性代数可以跟高等数学某些知识点结合出题吗？这种题考的可能性大吗？

　　答：从1997年修订大大纲以后，1998年开始基本每一年都涉及三门学科交叉命题的情况，这里头量不会太大，可以这样做。比如我们最简单线性代数里面的行列式，通过行列式可以定义一个函数，高等数学里头对函数所有考的内容都可以通过行列式定义一个函数以后，把行列式的性质，行列式的概念、计算和高等数学考函数特性、函数的极限、导数、积分都会结合起来考。另外我们线性代数里头比如向量、矩阵、二次型这里头有可能都含一个随机变量，我们可以通过随机变量求概率问题，只要平常复习时候稍微注意一下就可以，没有必要特别复习。

　　8.老师为准备2004年考生提点建议，剩下几天能否有冲刺和质的提高？您认为线性代数中整个在哪里？学习突破点在哪里？

　　答：回答这个问题，对整个命题的考虑实际上我们的同学应该稍微清楚一下，我们涉及到这个题型是填空、选择、计算、证明，之所以这样设计有他的考虑，填空题就是考知识点，考试大纲要求任何一个知识点都可能出题考你，但绝对不会是非常复杂的计算，所以不要期望哪个地方是重点，其实填空题往往在你认为不太容易出题的地方或者不会出题的地方，但是他可能会考一个比如简单填空题，我希望我们同学一定要全面系统复习。比如函数平均值的计算，这些都是一些应该说相对而言比较孤立的比较偏僻的一些知识点，但是会通过填空题考你。选择题考比较分析判断能力。计算证明题考我们思维灵活性，我们应用已有知识的灵活性。所以在这种情况下会经常的把多个知识点在一个题里头体现出来。我自己感觉数学这块如果是我期望一天两天后有一个本质突破，可能是比较困难的，但是最后这段时间利用好了对于我们整个成绩保持稳定，甚至有一个比较大的提高也是完全可以做到的。我们有的同学一开始花很多时间复习数学，最后既有专业课又有政治理论需要背，以前数学复习的很多是不是可以稍微放一放呢？你要是一段时间不做题突然题出来做感觉很生疏，所以最后一段时间里面千万不要说我以前复习的不错我放一放，千万不要有这种想法。数学题确实分值从100分提高到150分以后，对考研能否成功影响非常大。最后一个阶段突破和提高，通过模拟训练这是可以达到的，平时我们都是比较零碎的复习一个一个知识点，最后这个阶段突破提高在于能不能够很好的利用模拟题，做模拟训练，做这个模拟训练就是我刚才说的应该在规定时间里头做，做完以后一定要归纳和总结。我希望我们同学每做一套题，每归纳总结一遍以后都能够有一个提高，你不断发现问题，实际上什么事情都是熟能生巧，所以我们编模拟题时候也有这个考虑，一般难度可能比实际考题偏难一些，第二覆盖面，第三把同学容易出现问题的地方都要挖掘出来，你能够很高的利用模拟题。我们设计15套题，我们希望同学一个月之内做完，所以最终全部做完了，而且每做完以后都按照我们设计的想法归纳总结，我相信我们同学肯定会有一个突破。还问到线性代数的重点，线性代数填空题我希望我们同学注意，谈不到重点和非重点，选择题考概念比较，考分析、判断能力，经常把似是而非的概念混合在一起，主要是概念之间一些细微差异你清楚不清楚，所以重点如果我们非要说重点，特别是大题，我认为还是比较清楚的，每年肯定会围绕向量和线性方程组考一个大题，第二个就是特殊向量，也会结合二次型考，这两块是考得最多的，其他地方不是绝对的出大题，但是相对而言你要说重点我认为这两块是最重要的。

　　9.请问关于实对称和非实对称在对角化时候选择变换矩阵有什么不同吗？

　　答：如果单纯谈对角化，实对称和非实对称没有本质上的差别，实对称矩阵本身就是普通矩阵，所以你单纯只要是对角化，你总是可以找到有关向量，然后构造出一个可逆对阵来，我都可以找他的特别向量，构造一个可逆矩阵，使得它们对角化。但是实对称矩阵比一般矩阵有更好性质，如果你把相同特征的向量对角化了，然后再把所有特征向量放在一起单位化了，那你这个时候会找一个可逆矩阵，使得对角化，而且这个可逆矩阵还可以保证是一个对角的。

　　10.请问老师代数占多少分值？

　　答：我们数学一、数学二代数分20，数学三、四是25%。

　　11.线性代数概念比较多怎样复习才比较合适？

　　答：作为概念性的东西，第一步首先要了解知识点的含义，你单纯把这个概念背下来可能没有问题，都能够背下来，但是你真正要去理解它，或者去掌握它，数学最好的一个把握概念、理解概念的途径我认为就是做题，我们做题时候经常做不出来原因是由于我对概念没有很好理解，回过头来再看概念的时候，对这个概念的理解就加深一步，通过做题把握概念是比较好的途径。

　　12.请老师押一下今年线代的题目。

　　答：数学题所谓的押题，数学出题形式非常灵活，所以应该说每一种情况它都可以联系起来出题，所谓这种押题也可以这样考虑，比如行列式计算可以不可以出题，你可以这样思考，结合矩阵运算考一个行列式计算问题，我们发现还可以用特征值考行列式计算，用相似矩阵考行列式计算，这种出题形式，到现在为止哪一些考过的，利用行列式知识考行列式计算考过了，是不是下一步没有办法考了呢？其实从出题形式来讲就是把矩阵运算结合行列式性质考行列式，再把它综合到一起考行列式计算，通过这种形式出题，到现在为止还没有这么考的，那就是比较新颖的题，本身出题形式五花八门的，这是一种很典型的可以直接命题考的情况。至于这里头的数字是千变万化的，没有必要是固定模式，所谓押题从这种角度考是值得注意的。还有向量和线性方程组，整体会结合起来考一个大题，典型的是向量之间关系问题单独考，解方程组单独考都可以没有问题。还有一种表面考向量之间关系问题，实际考方程组解的问题。下一步会颠倒过来，表面上是先告诉你方程组解的信息，实际上考向量之间关系问题。还有一种考法就是把这两个知识点再结合到一起考，具体数据，具体就是哪一个题，我认为现在数学考试里头几乎许多这种情况，数学题太多了，我们这个地方不能一个个都写出来，但是我想你复习时候没有必要用这种方法复习，关键是复习的思路，数学从100分提高到150分，不是考你背哪一个题，而是考灵活运用能力，如何一个题都可以从多种角度变通，特别向量这块同样是类似的问题。基础情况我们要清楚，这里头有多个点出题，可以直接考向量问题，可以考相似矩阵问题，也可以考对角化问题，也可以结合特征向量，可以和前面知识行列式计算、矩阵计算，矩阵运算结合起来考，从这大块来讲两个点值得注意：一般考对角化判断问题，或者逆问题，这是很好的出题形式，还有一种考法就是把特征向量概念和我们行列式的计算和我们矩阵求秩，还可以通过考二次型，反过来如果没有二次型但是告诉你实对称矩阵，你应该思考能不能把实对称矩阵反映到二次型里。

　　13.数二特征值、特征向量是重点吗？

　　答：2002年考题第一次考，但是考的是最简单的。2003年考试时候难度增加了，考了一个对角化的问题，这是最核心的一部分，这部分肯定会考。重点还是放在我们矩阵的相似或对角化上面。实对称矩阵做要求了，但是实对称矩阵对数学的要求比其他数学考试低一些，这个地方要考也就是考你怎么把对称性矩阵变成对角矩阵。