国考数量关系之快速破解“牛吃草问题”

http://www.sina.com.cn 2010年10月15日 12:18 京佳公务员

　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是公考数量关系部分令很多考生头疼的问题。这类题看似很难，其实只要抓住了方法，就很容易解答。下面京佳秦老师以几道典型例题为例，给大家讲解这类题的解题方法和技巧。

　　首先给大家介绍牛吃草问题的由来。英国数学家牛顿(1642—1727)在他的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

　　知道了这一问题的来龙去脉，京佳秦老师接下来具体讲解如何解答这一类问题。

　　解决牛吃草问题的核心公式：y＝(N－x)×T，其中y=草量，N=牛的头数，x=草的生长速度，T=吃的天数(注意：若涉及“总量”随时间的推移而“变小”的题型，必须将公式中减号换为加号)。

　　这个式子就是解决牛吃草问题的基础，下面我们结合例题教给大家怎么运用这一公式解答相关题：

　　1. 牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？( 　)

　　A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

　　解析：B 本题属于“牛吃草问题”。根据“牛吃草问题”的核心公式：y＝(N－x)×T，设每天新长出x单位的草，牧场原有y单位的草，根据题意可得：y＝(27－x)×6；y＝(23－x)×9，解得：x＝15，y＝72。设这片牧草可以供21头牛吃T天，则72＝(27－15)×T，得：T＝6。故供21头牛吃6天。故选B。

　　多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

　　2. 12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变。问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？( 　)

　　A. 16 B. 20 C. 24 D. 25

　　解析：C 本题属于“牛吃草问题”。现在是三块面积不同的草地。6，12，16的最小公倍数是48。6×8＝48,12×4＝48,16×3＝48。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。公顷数扩大，所需牛的头数也扩大。所以原题可变为：12×8＝96头牛4周吃完48公顷的牧草，20×4＝80头牛6周吃完48公顷的牧草。问多少头牛8周吃完48公顷的牧草？根据“牛吃草问题”的核心公式：y＝(N－x)×T，设每周新长出x单位的草，牧场原有y单位的草，根据题意可得：y＝(96－x)×4；y＝(80－x)×6，解得：x＝48，y＝192。设N头牛8周吃完48公顷的牧草。则192＝(3N－48)×8，得：3N＝72，N＝24。故24头牛8周吃完48公顷的牧草。故选C。

　　牛吃草问题还应用于工程问题，行程问题，流水问题等等。

　　3. 一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里防水，平均每分钟入水量相等，如果同时开放3根排水管，45分钟可以把池中水排完；同时，开放5根排水管25分钟把池中水排完，那么，同时开放8根排水管，几分钟排完池中的水？( 　)

　　A. 12 B. 14 C. 15 D. 18

　　解析：C 本题属于牛吃草问题。“进水管每分钟进水”相当于“草”，“ 排水管”相当于“牛”，根据“牛吃草问题”的核心公式：y＝(N－x)×T，设池中原有水y单位，进水管每分钟进水x单位，可得：y＝(3－x)×45，y＝(5－x)×25，解得：x＝0.5，y＝112.5。设同时开放8根排水管，T分钟排完池中的水。则112.5＝(8－0.5)×T，得：T＝15。同时开放8根排水管，15分钟排完池中的水。故选C。

　　4. 有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人。已知快速车每小时54千米，中车速每小时39.6千米，那么慢车的车速是多少(假设骑车人的速度不变)？

　　A. 31 B.31.5 C. 32 D. 32.5

　　解析：B 本题属于“牛吃草问题”。“总的草量”变成了“车与人最初的距离”，“草”变成了“人的速度”，“牛”变成了“车的速度”。根据“牛吃草问题”的核心公式：y＝(N－x)×T，设车与人最初的距离为y，人的速度为x。根据题意可得：y＝(54－x)×3；y＝(39.6－x)×5，解得：x＝18，y＝108。设丙车的速度为N。则108＝(N－18)×8，解得：N＝31.5。故丙车的速度为31.5。故选B。

　　5. 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？( 　)

　　A. 100 B.120 C. 150 D. 180

　　解析：A 本题属于“牛吃草问题”。“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级速度”，“牛”变成了“人的速度”。根据“女孩每3秒钟走2梯级”，得女孩每秒钟走梯级。根据“牛吃草问题”的核心公式：y＝(N－x)×T，设扶梯的梯级总数为y，梯级速度为x。根据题意可得：y＝(1＋x)×50；y＝(2/3＋x)×60，解得：x＝1，y＝100。则扶梯的梯级总数为100。故选A。

　　运用核心公式计算牛吃草问题，给考生带来很多方便，在熟悉公式的基础上，做下面几道练习题进行巩固。

　　1. 牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？( 　)

　　A. 4 B.6 C. 8 D. 5

　　2. 20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草。假设每公顷牧草原有草量相等且每公顷草每天的生长速度相同。那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？( 　)

　　A. 20 B. 25 C. 30 D. 35

　　3. 有一水井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少架？( 　)

　　A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

　　4. 甲、乙、丙三辆车同时从a地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去。已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度。( 　)

　　A. 560 B.620 C. 680 D. 700

　　5. 哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？( 　)

　　A. 25 B. 50 C. 75 D. 80

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