国家公务员行测：数量关系之数学运算
近几年，国家公务员考试竞争日趋激烈，2011年国家公务员考试共有103万考生竞争16205个职位，考录比更是达到了63.6∶1。激烈的竞争使国家公务员考试笔试进入面试的最低分数线节节攀升，同时笔试与面试各按50%比例计入最后录取的总成绩，这一切使得笔试高分成为考生复习的核心目标。
行政职业能力测验作为公共科目笔试的两大考试科目之一，如何备考才能取得高分呢？我们通常讲，120分钟作答135道题目，平均53秒钟作答一题，这首先要求速度，而高速来源于方法的优化，方法的优化来源于对行测五大块知识内容有高度的认识与理解，而对五大块知识有高度的理解必须要通过有深度的专项复习与训练才能实现。
本书旨在通过对行测数学运算、判断推理、言语理解与表达、资料分析、常识判断等五大专项知识的系统、深度的讲解，综合提升考生对五大块专项知识的理解与认识水平，系统优化解题方法，快速提升做题速度，全面夯实专项能力，帮助广大考生提高分数，通过考试！
本书每一章节都贯穿着能力导向、方法优化与快速解题的思想，以下为部分示例：
【例题1】 若一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则正六边形面积是正三角形面积的几倍？
A。√2倍 B.1.5倍 C。√2倍 D.2倍
中公快解：
解答此题的一般思路是通过边长测算正三角形和正六边形面积，然后再对正三角形与正六边形的面积进行比较得出答案，显然这个过程耗时过多，且容易出错。
从中公的方法优化与快解来看，解决面积问题的核心是切割、平移、旋转与重新组合，或者从数形结合的角度进行再构造。按照这种思想，我们其实可以做以下重新构造与切割。设正三角形的边长为2，正六边形的边长为1，则正三角形和正六边形的周长都为6，符合题干要求“正三角形和一个正六边形的周长相等”如下图：
由上图构造可以看出：正三角形可以分成4个边长为1的正三角形，正六边形可以分成6个边长为1的正三角形，显然，正六边形的面积是正三角形面积的1.5倍，答案为B。
中公快解：
此题的一般思路是通过正方形的边长测算△ABC的一边长及其对应的高，然后根据三角形面积公式得出答案，这种方法显然计算量太大，可行性不高。
从中公的方法优化与快解来看，快速解决面积问题需要深刻认识图形内部的特点，进行相应的平移与重组。所以我们做如下构造，连接CE，如下图：
【例题3】 幼儿园里五个小朋友A、B、C、D、和E聚在一起玩一种叫“三人玩”的游戏，其规则如下：游戏的每一圈只能三个人玩；每个人都必须玩三圈；没有人可以连续两圈不玩；没有人可以连续玩三圈。现在，如果A、B和D玩第一圈，B、D和E玩第三圈，那么哪个小朋友不可能玩第四圈，而只能玩第五圈？
A.A B.C C.D D.E
中公快解：
由于题干所给的条件很多，比较复杂，如果不能够掌握正确的方法，则不能快速解答。
从中公的方法优化和快解来看，这是一个典型的通过列表法解题的题目。以下为列表法的基本步骤：
第一步，构造表格。
按照圈数构造表格。
第三步，根据条件分析结论。
可以发现，第一圈和第三圈都有BD参加，根据“没有人可以连续玩三圈”可知，第二圈BD不能参加，再根据“游戏的每一圈只能三个人玩”可知，参加第二圈的是ACE，如下表：
由上表，第二圈和第三圈都有E参加，根据“没有人可以连续玩三圈”可知，E不能玩第四圈，只能玩第五圈。所以答案为D。
【例题4】 当体育界、工业界和其他领域中的一些领导者将他们的成功归因于一种高度的 意识时，一个社会还是应该更好地为那些即将成为领导者的年轻人灌输一种
的意识。
填入划横线部分最恰当的一项是( )。
A。竞争 合作 B。大局 协作 C。协作 分工 D。危机 团队
中公快解：
解答此题的一般思路是寻求“意识”的搭配关系，发现选项中的词都可以与“意识”搭配，无法确定答案。
从中公的方法优化与快解来看，利用“关键词法”可直接定位答案。此题的关键词是“还是”，如下图：
两个横线所填词为反义关系，只有A项符合。
从以上例题的解析过程中我们可以看出：常规思路最多只能做到“会解题”，且有大量难题不能解决，更难以实现“快解题”、“巧解题”。大量实践证明，只有对行测专项知识有深入研究，多种方法对比分析，才能得到这些最快速、最巧妙、最准确的解题方法。我们从多年研发成果中提取沉淀的精华，画出了行测解题的点睛之笔！
目前公务员考试行测科目的复习目标已经不能停留在弥补薄弱环节的层次，而要向“专项高分”的方向发展。即在行测各个专项依次寻求突破，追求高分，拉开和竞争对手之间的差距。这就是我们提出“专项高分”备考体系的根据。如何实现这个目标，相信考生会在本书中能找到满意答案。
“追求卓越，给人改变未来的力量”一直是中公教育的创业理念。殷切期待广大读者对丛书提出宝贵意见，促进我们更快成长，让丛书更好地帮助广大考生。感谢您对中公教育的长期支持，祝您公考路上早日成功！
中公教育专家与教材编研团队
2011年3月
第一章数量关系——数学运算
第一部分数学运算考情综述
■ 数学运算历年真题分析
由考试大纲可以看出，从2007年到2011年，国家公务员考试的数学运算部分在题型方面略有调整，主要题型更加偏重于文字型的数学运算题。尤其是2010年、2011年连续两年，题型和题量都有较大变化，考查重点逐渐从题型转移到技巧，可知命题者对数学运算部分的命题思路仍然在不断调整，趋于成熟。
从2007年开始，数学运算部分对解题方法的测查越来越全面，题目的难度也是不断提升。2010年，数学运算部分难度达到顶峰，测查重点明显转移到应试者的数学思维能力；2011年在前一年的基础上，难度稍有下降，但题目技巧性更强，需要应试者熟练掌握各种解题方法。根据这几年的思路变化，我们相信，2012年的数学运算将继续保持一个较高的难度，而对解题方法的测查将进一步加强。
近几年国家公务员考试中，数学运算部分考查的题型非常稳定，基本上考查范围锁定在上表中的计算问题、排列组合问题、几何问题、行程问题、和差倍比问题等十大题型，其余题型每年最多出现一两道。在测查题型稳定的情况下，命题人保持了对题型的不断创新，使得这些古典的题型新意迭出，测查应试者的能力要求也是越来越高。以常见的行程问题为例，2010年的考试考查了一道简单的流水问题，其中需要应试者对方程法有一定的了解，而在2011年中，考查的则是相对复杂的多次相遇问题，需要应试者对全程的情境有整体而细致的把握。
第二部分数学运算基础知识
第一节数学运算核心知识
数学运算核心知识包括数的整除特性、最大公约数与最小公倍数、奇偶性与质合性等。本节中的知识点比较琐碎，系统性不强，但对提高解题的速度和准确度很有帮助，需要考生多加记忆，牢固掌握。
■ 数的整除特性
两个整数a、b，如果a÷b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除(或者说b能整除a)，称a是b的倍数(或者说b是a的约数)。
● 数的整除判定
要判断一个数是否能被其他数整除，根据除数的不同，可通过查看被除数的末位数、数字和或数字差等方式来确定。
(1)在公务员考试中，被2、3、5、9整除的判定较为常见，需要熟练掌握并灵活应用。
(2)7、11这两个数有两种整除判定方式，对于7而言，被除数为两位数或者三位数，可用第一种方式判定，其余时候用第二种方式；对于11而言，一般使用第一种方式判定。
【例题2】 一个四位数能被72整除，它的个位数与千位数之和是10，且个位数是偶数又是质数，去掉个位数和千位数得到一个新的两位数是质数。问此四位数是多少？
A.8592 B.8612 C.8712 D.8532
解析：此题答案为C。由于这个四位数能被72整除，72能被8和9整除，根据整除性质①，这个四位数能被8和9整除。该四位数能被9整除，则各项数字加起来能被9整除，排除A、B两项；又能被8整除，则后三位能被8整除，排除D项，因此选择C。
● 完全平方数
如果一个数是另一个整数的平方，那么我们称这个数为完全平方数，也叫做平方数。常见的完全平方数有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。有些题可利用完全平方数快速定位答案。
【例题4】 修剪果树枝干，第1天由第1位园丁先修剪1棵，再修剪剩下的1/10，第2天由第2位园丁先修剪2棵，再修剪剩下的1/10，……，第n天由第n位园丁修剪n棵，恰好第n天就完成，问如果每个园丁修剪的棵数相等，共修剪了( )果树。
A.46棵 B.51棵 C.75棵 D.81棵
解析：此题答案为D。从正面入手，通过“每个园丁修剪的棵数相等”这一条件，列出方程，可以直接得出答案。但是运用完全平方数性质，可以更快地得到答案。
“第n天由第n位园丁修剪n棵，恰好第n天就完成”，说明第n位园丁修剪了n棵，而每个园丁修剪的棵数相等，故果树一共有n×n=n2棵，即棵数为完全平方数。选项中只有D项是完全平方数。所以正确答案为D。
■ 同余与剩余
● 余数
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。
被除数(a)÷除数(b)=商(c)……余数(d)，其中a、c均为整数，b、d为自然数。
其中，余数总是小于除数，即0≤d＜b。
【例题1】(2010·联考) 在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？
A.237 B.258 C.279 D.290
解析：此题答案为C。在除法算式里，被除数=除数×商+余数，设除数为x，则被除数是21x+6。由题意可知，21x+6+x+21+6=319，解得x=13，故被除数为13×21+6=279。
● 同余
【例题2】 16×41×164除以7的余数为( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：此题答案为A。因为16÷7=2……2，41÷7=5……6，164÷7=23……3，所以16×41×164除以7的余数与2×6×3除以7的余数相同。2×6×3÷7=36÷7，余数为1。
● 剩余问题
在公务员考试中，剩余问题主要有以下三种情况：
①一个数除以4余2、除以5余2、除以6余2，这个数可表示为？
②一个数除以4余3、除以5余2、除以6余1，这个数可表示为？
③一个数除以4余1、除以5余2、除以6余3，这个数可表示为？
对于上述三种问题，解题思路是先找出一个满足条件的数，再加上几个除数的最小公倍数的1、2、3、…、n倍，即为所求。
①中，余数相同，2显然满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+2；
②中，4+3=5+2=6+1=7，余数与除数之和相同，即和同。7满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n+7；
③中，1-4=2-5=3-6=-3，余数与除数之差相同，即差同。-3满足条件，在此基础上加上4、5、6的最小公倍数，也满足条件，所以该数表示为60n-3。
所以有：余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。
【例题3】 三位数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个？
A.8 B.9 C.15 D.16
解析：此题答案为C。余同，取余数3，因为6、5、4的最小公倍数是60，则N=60n＋3，且n为整数时，这个数是一个三位数，满足100≤60n＋3≤999，解得2≤n≤16，即符合题意的数共有16-2＋1=15个。
【例题6】 在100-2000之间，除以9余6、除以7余2、除以5余3的数有几个？
A.5 B.6 C.7 D.8
解析：此题答案为B。这个问题不属于和同、差同、余同中的任何一种，比较特殊，采用逐步试探的方法。满足除以9余6的最小数为6，则该数可表示为9n+6。当n=0时，9n+6=6不满足除以7余2；当n=1时，9n+6=15除以7余1；当n=2时，9n+6=24除以7余3，不满足；n=3时，9n+6=33除以7余5；当n=4时，9n+6除以7余0；当n=5时，9n+6=51除以7余2，满足条件。
所以51满足除以9余6、除以7余2，又因为7、9的最小公倍数为63，这个数可表示为63n+51。再将n=0、1、2、……逐步试探，可知当n=4时，63n+51=303除以5余3，所以满足条件的最小数为303。
9、7、5的最小公倍数为315，形如315n+303的数均满足条件，由315n+303≤2000，可得n≤5，所以一共有6个数满足条件。
第二节数学运算常用解题方法
在数学运算的解题过程中，有些解题方法能够帮助考生快速找到思路、简化解题过程、优化计算步骤，而如何恰当地运用这些解题方法成为数学运算部分的重难点。在国家公务员考试中，有几种方法经常用到，它们适用于大多数题型，在本节中我们将一一介绍这些方法，希望通过学习本节，能熟练掌握这些方法，并灵活运用。
■ 代入排除法
定义：代入排除法是指从选项入手，代入某个选项后，如果不符合已知条件，或者推出矛盾，则可排除此选项的方法。国家公务员考试行测部分全部都是选择题，而代入排除法是应对选择题的有效方法。
适用范围：代入排除法广泛运用于多位数问题、不定方程问题、剩余问题、年龄问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。
● 直接代入排除
直接代入，就是把选项一个一个代入验证，直至得到符合题意的选项为止。
【例题2】 1999年，一个青年说：“今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生的年份的四个数之和。”这个青年是哪年出生的？
A.1975 B.1976 C.1977 D.1978
解析：此题答案为B。本题是典型的多位数问题，可直接代入排除。
代入A项，青年1975年出生，则1999年24岁，1+9+7+5=22，不符合，排除；
代入B项，青年1976年出生，则1999年23岁，1+9+7+6=23，符合条件。
【例题3】 两个数各加2的比为3∶2，两个数各减4的比为2∶1，问这两个数各是多少？
A.16，10 B.14，12 C.16，8 D.18，10
解析：此题答案为A。简单的和差倍比问题，可直接代入排除。
代入A项，(16+2)∶(10+2)=3∶2，(16-4)∶(10-4)=2∶1，符合条件。
所以选择A。
● 选择性代入排除
选择性代入，是根据数的特性(奇偶性、整除特性、尾数特性、余数特性等)先筛选，再代入排除的方法。
【例题5】(2009·国家) 已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？
A.75 B.87 C.174 D.67
解析：此题答案为B。利用倍数特性，甲的书有13%是专业书→甲的非专业书占甲的1-13%=87%=87/100为最简分数，不能再化简→甲的书是100的倍数，非专业书是87的倍数，排除A、D；
乙的书有12.5%=1/8是专业书”→乙的书是8的倍数。结合选项，若甲有174本非专业书，则甲有200本书，那么乙的书有60本，不是8的倍数，排除C，选择B。
中公快解
和差倍比问题，特别是遇到含分数、百分数和比例的问题，可以根据题目中的倍数关系，结合选项，带入排除。
【例题6】 有四个学生恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于93024，问其中最大的年龄是多少岁？
A.16 B.18 C.19 D.20
解析：此题答案为C。利用尾数特性，四个学生年龄的乘积为93024，尾数为4。因为5或0乘以任何数其个位数均为5或0，所以四人年龄的尾数都不可能为0或5。因此直接排除D。
最大年龄为16→ 第二大年龄为15，排除A；
最大年龄为18→最小年龄为15，排除B；综上，选择C。
■ 分合法
定义：分合法是指利用分与合两种不同的思维解答数学运算的方法。分合法常用的两种思路为分类讨论和整体法。所谓“分”，就是将一个问题拆分成若干个小问题，然后从局部来考虑每个小问题；所谓“合”，就是把若干问题合在一起，从整体上思考这些问题。简而言之，“分”就是局部考虑，是拆分；“合”是整体考虑，是整合。二者最终的目的都是为了提高处理问题的效率。
适用范围：分合法一般适用于排列组合与概率问题、解方程等。
● 分类讨论
分类讨论，是指当不能对问题所给的对象进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，逐类研究，最后将结论汇总得解的方法。
分类讨论是数学中独有的一种思想，它与平时归纳总结的逻辑思维正好相反。利用分类讨论能将某些复杂的问题分解成若干个简单的问题，然后各个击破，使问题变得易于解决。
主要流程：
【例题2】(2011·国家) 甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1人。问有多少种不同的选法？
A.51 B.53 C.63 D.67
解析：此题答案为A。甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半→甲、乙两个科室各有2名男职员、2名女职员，共有4名男职员、4名女职员。要求女职员的比重不得低于一半，即女职员不能低于2人，可以此为分类标准，有三种情况：2男2女、1男3女、0男4女。
①2男2女，相当于从4名男职员中选出2个，从4名女职员中选出2个，有C²C²种情况，这其中包含了完全从某一科室选人的2种情况，因此应有C²C²-2=34种情况；
②1男3女，相当于从4名男职员中选出1名，从4名女职员中选出3名，有C²C²=16种情况；
③0男4女，即甲、乙两个科室的女职员均入选，只有1种情况；
因此一共有34+16+1=51种情况。
分类讨论与加法原理经常一起使用，一般是多种情况分类讨论以后，再利用加法原理求出总的情况数。我们在排列组合与概率问题中具体介绍。
●整体法
整体法与分类讨论正好相反，它强调从整体上来把握变化，而不是拘泥于局部的处理。整体法有两种表现形式：
1.将某一部分看成一个整体，在问题中总是一起考虑，而不单独求解；
2.不关心局部关系，只关心问题的整体情况，直接根据整体情况来考虑关系。这种形式经常用于平均数问题。
【例题3】(2007·国家) 一名外国游客到北京旅游。他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅馆里。期间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了( )。
A.16天 B.20天 C.22天 D.24天
解析：此题答案为A。这道题已知不下雨的天数，再求出下雨的天数，就可以求出他在北京呆的天数。这样做没有问题，但是如果直接将所有的天数看成整体，将能够更快得到答案。
游客每次外出游玩实际上是花了半天时间。由于不下雨的天数是12天，那么这位游客有12个半天在外面游玩，又由题目可以知道，他在旅馆呆了8+12=20个半天，因此，他在北京呆了12+20=32个半天，也就是16天。
【例题4】 商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4元、6元和6.6元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？
A.4.8 B.5 C.5.3 D.5.5
解析：此题答案为D。本题从局部考虑很难考虑，又由于平均成本=总成本÷总千克数，因此我们需要从整体上找到总成本和总千克数即可。
由于三种糖所花费用相等，为了所算千克数为整数，不妨设每种糖都买了66元，则总成本为66×3=198元。甲糖有66÷4.4=15千克，乙糖有66÷6=11千克，丙糖有66÷6.6=10千克，因此总千克数为15+11+10=36千克。则这种什锦糖的平均成本为198÷36=5.5元。
第三部分数学运算题型精讲
第一节数学运算常考题型
在国家公务员考试中，数学运算的常考题型主要有：计算问题、和差倍比问题、行程问题、工程问题、排列组合与概率问题、几何问题、利润问题、容斥问题、推理问题和对策分析类问题。
■ 行程问题
行程问题研究的是物体运动中速度、时间、路程三者之间的关系。
例：一辆汽车在5小时中匀速行驶了200千米，问它每小时行驶多少千米？
这是研究汽车运动的最基本行程问题。此题已知时间和路程，求速度。
基本行程问题通常都可以根据公式建立三个基本量之间的数量关系来求解。
解复杂行程问题的关键是弄清运动过程，一般包括以下几个要素：
运动的方向(相向，相背，同向)，出发的时间(同时，不同时)，出发的地点(同地，不同地)，运动的路线(封闭，不封闭)，运动的结果(相遇、追及、交错而过、相距多少)。
当运动过程较为复杂时，常以线段图辅助分析。
公务员行测考试中涉及最多的是相遇问题与追及问题。
● 平均速度问题
【例题1】 在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持20千米/小时，下坡的速度保持30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶4小时，问两个山村之间的距离是多少千米？
A.45 B.48 C.50 D.24
解析：此题答案为B。往返一次中，去时的上坡路为返回时的下坡路，下坡路为返回时的上坡路，所以往返一次的路程相当于从不同速度分别走了一个全程的上坡路和一个全程的下坡路。两段路程相等，可直接套用平均速度公式(3)，v=2v1v2/(v1+v2)=2*20*30/(20+30)=24千米/小时；又由平均速度=总路程÷总时间可知，2S=v×4=24×4，则S=48千米。
● 相遇、追及问题
相遇问题基本公式适用于“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”的情况，当出现“不同时出发”或“没有相遇(还相隔一段路)”时，应转化为“同时出发，经过相同时间相遇”，再应用公式。
追及问题基本公式适用于“同时出发，同向而行，经过相同时间追上”的情况。与相遇问题一样，如果出现不标准情况，都应转化为“同时出发、同向而行、经过相同时间追上”的标准情况求解。
【例题2】 甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分钟相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那么，甲车提前了( )分钟出发。
A.30 B.40 C.50 D.60
解析：此题答案为C。相遇问题。若甲车提前出发，则从乙车出发的时刻开始应用相遇问题公式：相遇时间=相遇路程÷速度和。
设A、B两地相距S千米，甲提前了t小时出发，两车提前30分钟即1/2小时相遇，则有s/(60+40)－1/2=(s-60t)/(60+40)，解得t=5/6小时=50分钟。
中公快解 由题意可知，甲提前走的路程=甲、乙共同走30分钟的路程，那么提前走的时间为1/2(60+40)÷5/6小时=50分钟。
● 多次相遇问题
相遇问题的复杂形式是多次相遇问题，多次相遇问题按照运动路线不同分为直线多次相遇和环形多次相遇两类。
【例题4】 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距B地64千米处第一次相遇，相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？
A.24 B.28 C.32 D.36
解析：此题答案为C。直线二次相遇问题，具体运动过程如下图所示。
由上图可知，第一次相遇时，两个车走的总路程为A、B之间的路程，即1个AB全程。第二次相遇时甲、乙两车共走了3个AB全程，即两车分别走了第一次相遇时各自所走路程的3倍，可知乙车共走了64×3=192千米，则AB间的距离为192－48=144千米，故两次相遇点相距144－48－64=32千米。
【例题5】 甲、乙两人在400米环形跑道上练习赛跑，已知甲每分钟跑45米，乙每分钟跑35米。现两个人同时从A点出发，反向赛跑，问经过多少分钟，两个人第四次相遇？
A.8 B.12 C.16 D.20
解析：此题答案为D。环形多次相遇问题。
两个人第一次相遇时，共跑了1圈；第二次相遇时，共跑了2圈；……；第四次相遇时，共跑了4圈。因此，相遇时间为400×4÷(45+35)=20分钟。
■利润问题
利润问题是人们在经济生活中遇到的问题，它主要考查进价、售价、利润之间的关系。常见的利润问题如下：
某商品按售价120元一件卖出，获得利润20元。问商品的进价是多少元？
利润问题概念及相关公式
● 简单的利润问题
利润问题本身是从商业活动中抽象出来的，几乎所有的题目都与进价、售价、利润相关，尤其是那些最简单的利润问题。
【例题1】(2010·国家) 一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为( )。
A.12% B.13% C.14% D.15%
解析：此题答案为C。为避免出现分数，这里遇到百分数，则设特值时可设为100，因此设上月的进价为100，则这个月的进价为100×(1-5%)=95。
设上个月的利润率为x，则这个月的利润率为x+6%。
根据售价相同可知：100(1+x)=95(1+x+6%)，解得x=14%。
● 打折问题
商家定完价格以后，往往不是按照最初的定价进行出售，一般都会通过打折这一方式，降低实际的售价，从而吸引更多的顾客来购买商品。
【例题3】 某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个或按定价每个减价35元出售12个，二者所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元？
A.180 B.200 C.210 D.220
解析：方法一，按定价出售，每个可以获得45元的利润，则按定价每个减价35元出售12个的利润为12×(45-35)=120元，这相当于按定价的八五折出售8个的利润，则按定价的八五折出售1个的利润为120÷8=15元。故按定价的八五折出售每一个便宜了45-15=30元，那么定价为30÷(1-85%)=200元。
方法二，设这种商品的定价为x元，则成本为(x-45)元，依题意，有[0.85x-(x-45)]×8=[(x-35)-(x-45)]×12，解得x=200元。
● 价格与销量反向变化问题
价格上涨，销量就会降低；价格下跌，销量就会增加。在公务员考试中，就有研究这类规律的问题，一般是求总利润最高时的售价或总利润的最大值。
【例题4】 将进货单价为90元的某商品按100元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品如果每个涨价1元，其销售量就会减少10个，为了获得最大利润，售价应定为( )。
A.110元 B.120元 C.130元 D.150元
解析：此题答案为B。依题意，最大利润与售价相关，因此要先找到售价与利润的具体关系。可设售价增长了x元，即售价为(100+x)元，则销售量为(500-10x)个。
设总利润为y，则y=(100+x-90)(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10×(x2-40x+202)+5000+10×202=-10(x-20)2+9000，当x=20时，利润最大。此时售价为100+20=120元。
●多种方式促销问题
商场有时候会给出多种促销的方式，我们需要通过计算对比，确定哪一种促销方式能给我们带来最大的优惠。
【例题5】 某商场举行周年让利活动，单件商品满300减180元，满200减100元，满100减40元；若不参加活动则打5.5折。小王买了价值360元，220元，150元的商品各一件，最少需要多少钱？
A.360元 B.382.5元 C.401.5元 D.410元
解析：此题答案为B。将每件商品是否参加活动的情况列举到下表中：
因此最少需要180+120+82.5=382.5元。
■ 推理问题
在公务员考试中，有这样一类不需要复杂计算、无需掌握固定解法与相关基础知识的题目，这类题目侧重考查应试者的基本逻辑推理能力，统称为推理问题。解答此类问题，主要可利用逻辑知识、整数性质、最值思想来进行推理。
● 利用逻辑知识推理
这种推理问题与逻辑判断中的分析推理问题类似，二者均考查考生对问题的推理过程，需要考生具有清晰的推理思想。区别之处在于，数学运算中的推理问题需要考生兼具简单的计算能力，能够通过计算寻找推理所需要的原始条件。
【例题1】(2011·国家) 小赵、小钱、小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息。三人约定每一局的输方下一局休息。结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，小孙共打了5局。则参加第9局比赛的是( )。
A。小赵和小钱 B。小赵和小孙
C。小钱和小孙 D。以上皆有可能
解析：此题答案为A。本题乍看没有思路，可先求出每个人打的局数，再进一步分析。
● 利用整数性质推理
这类题目在最近几次省考中开始出现，主要出题形式：先给定若干个不同的整数两两相加的和，然后来求这些数分别是多少。对于这种题目，应该从加和中最大的三个数或者最小的三个数入手。通过简单的方程组，可以求出原数中最大的三个数或者最小的三个数，然后进行推理分析。
【例题2】(2010·联考) A、B、C、D、E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个？
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：此题答案为C。设A<B<C<D<E，则两两加和所得的8个不同数值中，最大的三个数是C、D、E两两求和而得，则有C+D=39、C+E=42、D+E=45，解得C=18、D=21、E=24。
最小的数值是A、B之和，A与C之和应是第二小的数，因此A+B=17、A+C=25，解得A=7、B=10。A、B、C、D、E依次是7、10、18、21、24，能被6整除的是18、24这两个数。
● 利用最值思想推理
这类题目往往需要考生通过一定的数学运算，考查最差或最好的情况，然后根据相应情况进行推理，看是否满足题意。
【例题3】(2010·国家) 某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低考了多少分？
A.88 B.89 C.90 D.91
解析：此题答案为B。平均分确定，则20人的总分固定，要使排名第十的人考分尽可能的低，则前9名的分数要尽可能高。同时，后10名的分数也要尽可能高。
20人的总分是20×88=1760分，不及格的人数为20×(1-95%)=1人，则他的分数最高为59分；前9名的总分最多是100+99+…+92=(100+92)/2×9=864分，所以剩下10人的分数之和最少是1760-59-864=837分。
当第10名分数是88分时，剩余10人总分最多是88+87+…+79=(88+97)2×10=835分，不满足题意。
当第10名分数是89分时，剩余10人总分最多是89+88+…+80=(89+80)/2×10=845分，符合题意。
第二节数学运算扩充题型
本节将介绍各地省考中广泛出现的其他数学运算题型来作为上节的扩充，这些题型虽然在国考中出现的频率很低，但是它们的解题思路和方法也能够给我们带来新的启发。考生在学习这一节内容时，需要掌握这些题型的基本概念、基本解题方法，使自己的备考体系更加完备。
■ 抽屉问题
题干中含有诸如“至少……才能保证……”、“要保证……至少……”这类叙述的题目，一般可以用抽屉原理来解决，称为抽屉问题。具体形式如下：
现有5个抽屉和若干个苹果，要保证至少有一个抽屉里面有4个苹果，问这些苹果至少有多少个？
对于这类问题，常应用到以下两个抽屉原理。
上题我们就可以根据抽屉原理2，从而可知苹果数多于5×(4-1)=15个，也就是至少有16个苹果。
这类问题也可以用最差原则来考虑。所谓最差原则，就是考虑问题发生的最差情况，然后就最差情况进行分析。最差原则是极端法的一种应用，一般情况下，我们优先考虑用最差原则来解决抽屉问题。
【例题1】 有红、黄、绿三种颜色的手套各6双，装在一个黑色的布袋里，从袋子里任意取出手套来，为确保至少有2双手套不同颜色，则至少要取出的手套只数是( )。
A.15只 B.13只 C.12只 D.10只
解析：此题答案为A。应用最差原则。最差的情况是已经取出了一种颜色的全部6双手套和其他两种颜色的手套各一只，那么再取出一只，即得到2双不同颜色的手套。所以至少要取出12+2+1=15只。
【例题2】 把154本书分给某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分得4本或4本以上的书，那么这个班最多有多少名学生？
A.77 B.54 C.51 D.50
解析：此题答案为C。此题首先考虑使用最差原则，发现不容易得出答案。看到“至少有一位同学会分得4本或4本以上”这种抽屉问题的标准表述，因此可以考虑使用抽屉原理。每位同学看成一个抽屉，每个抽屉内的物品不少于4件，逆用抽屉原理2，则有m+1=4，m=3。154=3×n+1，n=51，所以这个班最多有51名学生。
■ 分段计价问题
日常生活中，为了鼓励大家节约用电用水，电厂、水厂有时采用分段计价的形式来收电费、水费。一般的形式如下：
每户每月用电不超过50度的，按1.2元/度计费；超过50度的，按2元/度计费。每次计费用电量都按整数计算。
在各类公务员考试中，分段计价问题出现频率越来越高。解决此类问题要弄清分段点，再分区间计算。解题时一般需要利用不定方程和数的特性。
【例题1】(2010·国家) 某城市居民用水价格为：每户每月不超过5吨的部分按4元/吨收取；超过5吨不超过10吨的部分按6元/吨收取；超过10吨的部分按8元/吨收取。某户居民两个月共交水费108元，则该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？
A.17.25 B.21 C.21.33 D.24
解析：此题答案为B。设这两个月用水中4元/吨的部分用了x吨，6元/吨的部分用了y吨，8元/吨的部分用了z吨。由于每户每月按4元/吨计算的水不超过5吨，那么两个月不超过10吨，因此0≤x≤10，同理0≤y≤10，0≤z，且：
4x+6y+8z=108→8(x+y+z)=108+4x+2y
要使x+y+z最大，那么x、y要尽可能的大，取x=10，y=10，得x+y+z=21为最大值。
【例题2】 商场进行大米促销，如果购买大米的重量为1-50千克时，大米的价格为每千克5元；51-100千克时，超出50千克部分的价格为每千克4元；100千克以上时，超出100千克部分的价格为每千克3元。现在老张和老李都需要买整数千克的大米，老张比老李少买一些。他们俩单买需要付568元，合买需要504元。问老张比老李少买多少千克？
A.20 B.22 C.24 D.26
解析：此题答案为D。首先根据合买的价格，求出两个人共买的大米重量。504>5×50+4×50，说明两个人所买大米重量超过100千克，应该共买了(504-5×50-4×50)÷3+100=118千克。
根据选项可知，老张买的大米数应该少于50千克，老李的多于50千克，否则老李最多比老张多118-50-50=18千克，没有对应选项。
现假设老张买了x千克，则老李买了(118-x)千克，那么5x+5×50+4(118-x-50)=568，解得x=46，那么老李买了118-46=72千克，比老张多了72-46=26千克。
■ 日期问题
日期问题是由历法产生的一类计数问题，其主要知识点如下表所示：
【例题1】 2005年7月1日是星期五，那么2008年7月1日是星期几？
A。星期三 B。星期四 C。星期五 D。星期二
解析：此题答案为D。两个日期间相差3年，星期数加3；2008年为闰年，且2008年2月29日在两个日期之间，星期数再加1。所以星期数的变化为3+1=4天，2008年的7月1日为星期五往后推4天，即为星期二。
【例题2】 假如今天是2010年的8月25日，那么再过260天是2011年的几月几日？
A.5月11日 B.5月12日 C.4月13日 D.5月13日
解析：此题答案为B。根据每个月份的天数具体计算，将这些天分段如下：
第1段：2010年8月26日～31日，共有31-26+1=6天；
第2段：2010年9～12月，共有30+31+30+31=122天，还剩下260-6-122=132天；
第3段：2011年1～4月，共有31+28+31+30=120天，还剩下132-120=12天；
所以，所求日期为5月12日。
■ 植树问题
在一条“路”上等距离植树的问题称为植树问题。例如：在一周长为50m的花坛周围种树，如果每隔5m种一棵，共要种多少棵树？在植树问题中，“路”被分为等距离的几段。
解题思路：先判断植树类型，再套用公式。
对上例可先判断其属于封闭道路植树问题，路长=50m，间距=5m，套用公式：棵数=总路长÷间距，可得棵数=50÷5=10棵。
【例题】 从一楼走到五楼，爬完一层休息30秒，一共要210秒，那么从一楼走到七楼，需要多少秒？
A.318 B.294 C.330 D.360
解析：此题答案为C。这种“爬楼梯”问题本质上是不封闭的路两端都不植树问题。其中每一层楼相当于一棵树，爬一层楼所需要的时间相当于相邻两棵树之间的距离。因此爬楼问题的公式为：总时间=爬一层楼所需时间×(楼层数-1)。
从一楼走到五楼一共爬了4层，需要休息3次，休息了30×3=90秒；则爬到五楼需要210-90=120秒，爬一层需要120÷(5-1)=30秒。从一楼走到七楼共休息5次，则共费时(7-1)×30+5×30=330秒。
第四部分 精选习题演练
1.一本100多页的书，被人撕掉了4张，剩下的页码总和为8037，则该书最多有多少页？
A.134 B.136 C.138 D.140
2.有8个盒子，分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵先取走一盒，其余各盒被小钱、小孙和小李三人取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的一盒乒乓球的个数是( )。
A.24个 B.33个 C.35个 D.36个
3.小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城到B城需要多少分钟？
A.45 B.48 C.56 D.60
参考答案及解析
1.【答案】A。解析：撕掉四张纸的页码数为二奇二偶，其和一定是偶数，由剩下页码数之和是奇数可知总的页码数是奇数，排除B、D两项。若为C项，则撕掉的页码数之和是138×(138＋1)÷2－8037＝1554＞138×8，矛盾。因此只有A项符合题意。
2.【答案】D。解析：小钱和小孙取走的个数相同，且是小李的2倍，故三人取走的总数是小李的5倍，即为5的倍数。考虑8个盒子乒乓球数除以5的余数，依次是2，4，4，3，0，1，3，4。余数之和为21，可知小赵取走的那盒的乒乓球个数除以5余数是1，这样剩下的总数才是5的倍数。只有D项符合条件。
3.【答案】B。解析：由于小王步行速度比跑步慢50%，不妨假设小王步行的速度是1，那么跑步速度就是2，同理可以得到他骑车的速度就是4。假设从A城到B城的距离为x，由时间=距离÷速度可知，x/4 +x/1=2，解得x=1.6。那么小王跑步从A城到B城的时间为1.6÷2=0.8小时，也就是48分钟。
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