国家公务员行测：数量关系之数字推理
第二章数量关系——数字推理
第一部分数字推理考情综述
■ 数字推理历年真题分析
通过对历年国家公务员考试真题的分析，我们发现数字推理有如下几大特点：
1.以考查数列形式数字推理为主
国家公务员考试仅在2008年出现了一道图形形式数字推理，其他都是数列形式数字推理。其原因在于从考查内容的广度、试题的区分度来看，数列形式数字推理都明显高于图形形式数字推理。
2.以考查基本数列变式为主
基本数列本身难度不大，对其略作变化，得到的难度较大的基本数列变式为命题者所偏爱。如上表所示，在国家公务员考试中，等差数列变式、等比数列变式、和数列变式、多次方数列变式等出现频率较高。
【例题】(2010·国家) 3， 2， 11， 14， ( )， 34
A.18 B.21 C.24 D.27
解析：此题答案为D。题干数字依次可以写为3=12＋2、2=22-2、11=32＋2、14=42-2、(27)=(52＋2)、34=62－2。
应对策略：在后面内容中，我们将以较大篇幅介绍基本数列变式，主要从以下几个角度进行学习：一是掌握解题分析方法；二是认识各类变式规律；三是明确各种数列的特点。
3.真题多是已有规律复合考查
国家公务员考试中的数字推理难度较大，规律新颖，却不生僻，多是在常见规律的基础上进行组合。
【例题】(2010·国家) 1， 2， 6， 15， 40， 104， ( )
A.185 B.225 C.273 D.329
解析：此题答案为C。相邻两项之差，依次是1、4、9、25、64。不难发现这几个数都是完全平方数，依次为1、2、3、5、8的平方。
1、2、3、5、8，这列数字有一个明显的特点，那就是从数列第三项开始，每一项都等于它前面两项之和，这个数列下一项是5＋8=13。回到题干中，则( )－104=132，( )=169＋104=273，答案选C。
此题考查了三点：一是作差法的使用；二是对平方数列的认识；三是对和数列的理解。这三点，若单独考查，难度都不大，但命题者将其融合起来，实现了对已有规律的复合考查，加大了难度。
应对策略：熟知数列基本规律，并了解各类创新数列推理规律。开阔解题思路，坚持练习，使数字推理规律与解题分析方法融会贯通，实现能力的真正提升。
4.分式数列是必考题型
分式数列是结构特殊的数列形式数字推理，难度较大，在近年来的国家公务员考试中都有出现。
【例题】(2009·国家) 0，1/6，3/8，1/2，1/2，( )
A。5/13 B。7/13 C。5/12 D。7/12
解析：此题答案为C。对分子分母分别进行改写
分子：0、1、3、6、10、(15)，相邻项之差依次是1、2、3、4、(5)
分母：5、6、8、12、20、(36)，相邻项之差依次是1、2、4、8、(16)
答案应是15/36=5/12。即题中第一项0看作0/5、第四项1/2看作6/12、第五项1/2看作10/20。
由此题我们可以发现：学习数字推理首先应了解规律类型。以上题为例，若不知道在数字推理中有这样一种分子分母分别变化的规律，是无从作答的。
其次要掌握分析方法。以上题为例，看到该数列，我们知道这个分式数列需要被改写才能找出规律。怎样改写？就要掌握一定的分析方法。
认识规律、讲解分析方法将是本章的核心内容。
应对策略：对分式数列进行专题复习，掌握难度较大的分子分母分别变化型分式数列的解题方法。
■ 数字推理高效备考策略
高分第一步：掌握数字推理分析基础
看到一个数列，如何寻求规律，从哪个方面思考，是解决数字推理的难点所在。数项特征、运算关系、整体特征既是数字推理考查的三大本质内容，也是分析数字推理的三个主要方向。掌握数字推理分析方法，在实际做题中从这三个方向分析数列找到规律，方可做到举一反三。应试者可阅读本章第二部分，系统了解数字推理分析基础，亦可结合每小节例题解析里所叙述的解题思路细加体会。
高分第二步：掌握数字推理规律
掌握数字推理分析方法是为了在寻求规律的过程中不走弯路，前提是应试者要了解各种数字推理规律。本章第三部分题型精讲按照数字推理规律分类，以国家公务员考试常考的数列形式数字推理为主，各省常考的图形形式数字推理为辅。每一专题介绍了这种规律的基本形式及其众多变式。每道例题的解析主要包括两部分：首先是解题思路，可参考第二部分数字推理分析基础的内容体会如何解题；随后列出具体规律供考生识记。
高分第三步：掌握题型特征，准确定位答案
将分析数字推理的方法与各种规律进行有机结合才能快速定位题目规律。本章第三部分题型精讲中每一专题均设有内容提要，对相应规律的题型特征进行汇总分析。内容提要包括对应题型的特征概述、侧重考查的能力、可能出现的形式与具体的题型特征。应试者哪部分薄弱，便可有意识地提升该类题型侧重考查的能力。熟记各类题型特征，则可在分析数列时快速定位规律类型。因此这部分既可作为细致研读后的精华总结，也可作为考试前查漏补缺的工具。
第二部分数字推理基础知识
数字推理的核心在于对数列的分析。多数考生反映数字推理难于入手，虽然看了很多数字推理规律和例题，但不能举一反三，遇到新题仍旧毫无头绪。
公务员考试的本质是能力测查，数字推理对能力的考查主要包括数字敏感度与对数字运算关系的把握能力，这与数字推理的分析基础的内容是一致的。授人以鱼不如授人以渔，本节通过对数字推理分析基础的介绍，务求使考生真正做到以切实有效的方法提升能力并通过考试。
对于一个数列(或包含数字的图形)，我们主要从以下三个方面入手分析，每个方面包含若干性质：
数项特征分析主要是对单个数字属性的分析，需要有一定的数字敏感度。
运算关系分析主要是对多个数字之间运算关系的分析，需要有相应的运算直觉。
整体特征分析主要是对数字推理一些宏观的表现形式的分析。
■ 数项特征分析
在公务员考试数字推理中，数项特征主要包括整除性、质合性、多次方数表现形式、数位特征等。
1。整除性
一个整数的整除性是指这个数可以被哪些整数整除，如12，可被1、2、3、4、6、12整除。每个正整数都可以被1和它本身整除。一个数的约数越多，其整除性越好。
【例题1】(2010·国家) 1， 6， 20， 56， 144， ( )
A.256 B.312
C.352 D.384
解析：此题答案为C。除1外各项都有良好的整除性，因此考虑对每项进行乘积拆分。6可以拆为2×3，20拆为4×5，56拆为8×7，144拆为16×9，1只能拆为1×1。因此第一个乘数依次为1，2，4，8，16；第二个乘数依次为1，3，5，7，9。前者是等比数列，后者是等差数列。( )=32×11=352，答案选C。
中公快解 整除性可以用来考查整数乘积拆分数列、等比数列等，当一个数表现出很好的整数性时，可以试着考虑它的因数来寻找规律。
2。质合性
质数与合数是从约数的角度对所有大于1的整数的一个划分，规定：除了1和它本身以外还有其他约数的数是合数，只有1和它本身两个约数的数是质数。1既不是质数也不是合数。除2以外，所有的质数都是奇数。
100以内的质数共有25个，从小到大依次是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
【例题2】(2002·国家) 20， 22， 25， 30， 37， ( )
A.39 B.45
C.48 D.51
解析：此题答案为C。观察数列，37是质数，不能被其他数整除，排除作商，考虑作差。相邻两项的差依次是2，3，5，7，(11)，是质数列。37+11=(48)，选C。
中公快解 在分析一些数列构成时利用质合性有助于推断规律的形式，譬如质数没有很好的整除性，根据这一点就可以排除通过“作商”来寻求规律。
3.多次方数表现形式
通常把能够写成一个整数的整数次幂的数称为多次方数，如16=24=42、27=33。多次方数附近的数也可写成多次方数与整数和或差的形式，如7=23－1、26=52＋1=33－1。
【例题3】 8， 27， 64， ( )， 216
A.125 B.100
C.160 D.121
解析：此题答案为A。从多次方数的角度分析，题干数字均为多次方数，分别是2、3、4、(5)、6的立方，( )=53=125。
4。数位特征
将一个多位数看成几个数字的组合，这些数字之间的相互关系被称为这个数的数位特征。数位特征分析多应用于数字位数较多的数列。
如123，看成数字1、2、3的组合。1＋2=3，即认为“百位数字与十位数字之和等于个位数字”，这就是123的一个数位和的特征。
又如1236，看成12、36的组合。36÷12=3，即认为“十位数字与个位数字组成的两位数是千位数字与百位数字组成的两位数的三倍”。
【例题4】 4938， 3526， 3124， 2621， 1714， ( )
A.1565 B.1433
C.1916 D.1413
解析：此题答案为D。从数位特征的角度分析，将每个四位数的前两位数字和后两位数字分别看成一个两位数，这两个两位数的差依次是49-38=11、35-26=9、31-24=7、26-21=5、17-14=3。因此空缺项千位和百位组成的数减去十位与个位组成的数所得的差应是1，选项中符合这一规律的是D。
下表中列出一些数，并给出了它们的基本性质，读者还可以发散思维，想到更多。
第三部分数字推理题型精讲
第一节数列形式数字推理
数列形式数字推理是国考的基本题型，也是数字推理的主要题型。因此分析数列形式数字推理是备考数字推理的重中之重。下面我们先从五大基本数列及其变式入手，进行详细讲解，之后是结构较特殊的两类数列——分式数列、组合数列，最后是形式与结构都很特别的创新数列。
■等差数列及其变式
等差数列及其变式指通过作差寻求规律的数列。
●等差数列基本形式
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么，该数列就叫做等差数列。这个常数叫做该等差数列的公差。最典型的等差数列就是1，2，3，4，5…这个自然数列，公差是1。
二级等差数列：一次作差后得到的差数列是等差数列的称为二级等差数列。
三级等差数列：两次作差后得到的差数列是等差数列的称为三级等差数列。
【例题1】 343， 453， 563， ( )
A.673 B.683 C.773 D.783
解析：此题答案为A。数项较大，且均为三位数，各位数字相加的和为10、12、14、(16)，只有A符合规律。其实本题的规律最简单不过，相邻两项间作差，会发现这个数列是公差为110的等差数列。可以理解这是一个巧合，也说明数字推理规律可以有很多种，但在真题中答案却是唯一的。
【例题2】(1999·国家) 0， 2， 8， 18， ( )
A.24 B.32 C.36 D.52
解析：此题答案为B。从数项特征角度分析，首项是0，说明不能作商，运算关系也不太可能是乘除。因此考虑作差，发现是二级等差数列。后一项与前一项的差为等差数列2，6，10，(14)，答案即为18＋14=(32)。
【例题3】(2001·国家) 6， 18， ( )， 78， 126
A.40 B.42 C.44 D.46
解析：此题答案为B。从数列变化趋势角度分析，递增较平缓，属于比较典型的二级等差数列，相邻数字差为12，(24)，(36)，48，是公差为12的等差数列；因此该项为18+24＝(42)=78-36，选B。
● 等差数列及其变式内容提要
等差数列数项特征不明显，一般由有理数组成，其递增趋势比较平稳。下图列出了不同基本数列的递增趋势，可见等差数列是递增最为平稳的。
等差数列的能力要求
强调数列整体特征的分析，以及一定的运算能力。
国家公务员考试中最有可能出现的形式
在国考中等差数列最有可能是复合规律考查。
等差数列特征归纳
1.数项特征不明显，含有0或质数
2.单调增减或增减交替
■ 组合数列
前面所讲的数列，如等差数列及其变式、等比数列及其变式、和数列及其变式、积数列及其变式等，都重在考查数列各项之间的运算关系。下面要讲到的组合数列则是重在考查数列结构特征，即只要发现了数列的结构特征，就能很容易地找到数字推理规律。
根据结构特征的不同，我们将组合数列分为以下几类：
● 间隔组合数列
这类数列的奇数项和偶数项分别构成某个基本数列或其变式，奇数项与偶数项规律可以相似也可不同。由于基本数列及其变式规律众多，间隔组合数列的种类也很多，其共同特点是数列项数较多，有时需要填出题干空缺的两项。
【例题1】 1， 2， 0， 3， -1， 4， ( )
A.-2 B.0 C.5 D.6
解析：此题答案为A。奇数项1，0，-1，(-2)是等差数列；偶数项2、3、4是等差数列。
【例题2】 3， 3， 4， 5， 7， 7， 11， 9， ( )，( )
A.13，11 B.16，12 C.18，11 D.17，13
解析：此题答案为C。本题是典型的间隔组合数列，因为所求为两项。奇数项3，4，7，11，(18)，是和数列，前两项之和等于第三项；偶数项3，5，7，9，(11)是等差数列。
【例题3】 64， 2， 27， ( )， 8， ■， 1， 1
A.2√5 B。√5
C.2√3 D。√3
解析：此题答案为D。第一项与第二项相差过大，第一项与第三项均是多次方数，因此考虑是间隔组合数列。奇数项64，27，8，1，依次是43、33、23、13；偶数项2，(√3)，√2，1，依次是√4、√3、√2、√1。
● 分组组合数列
这类数列考查的是分组结构，解题时须将数列相邻数字分为独立的几组，然后考察组内数字或组间数字在运算关系上的联系，分组时以连续两项作为一组居多。
这类数列的共同特点是数列项数较多，数列通常增减不定，或数字跳跃较大，没有明显的递增或递减趋势。
【例题1】 1， 3， 13， 15， 27， 29， 35， ( )
A.36 B.37 C.38 D.39
解析：此题答案为B。题干数项较多，考虑是组合数列。两两数值相近，确定是分组组合数列。两两一组，1与3、13与15、27与29、35与37，可看出每组两个数之差都是2。
【例题2】 5， 24， 6， 20， 4， ( )， 40， 3
A.28 B.30 C.36 D.42
解析：此题答案为B。两两一组，5与24、6与20、4与(30)、40与3，可以看出，每组两个数之积都是120。
【例题3】 1， 1， 2， 4， 8， 64， 6， ( )
A.4096 B.384 C.36 D.842
解析：此题答案为C。两两一组，1与1、2与4、8与64、6与(36)，可看出每组前一个数的平方等于后一个数。
●数位组合数列
数位组合数列的题干数字以多位数为主，解题时需要将这些多位数分解成几个相互独立的部分。数位组合数列考查的规律有两类：
1.各项对应位置上的数组成一个简单数列，我们称为数位对应型；
2.数列每一项分成的几个部分之间有相同或相似的联系，我们称为数位关系型。
1.数位对应型
【例题1】 22， 44， 86， ( )， 3210， 6412
A.108 B.168 C.78 D.118
解析：此题答案为B。2 2、4 4、8 6、(16 8)、32 10、64 12
每项第一部分数字依次为2、4、8、(16)、32、64，是公比为2的等比数列。
每项第二部分数字依次为2、4、6、(8)、10、12，是公差为2的等差数列。
【例题2】 232， 364， 4128， 52416， ( )
A.64832 B.624382 C.723654 D.87544
解析：此题答案为A。数列各项均为多位数，考虑数位特征。2 3 2、3 6 4、4 12 8、5 24 16、(6 48 32)
每项第一部分数字依次为2、3、4、5、(6)，是连续自然数。
每项第二部分数字依次为3、6、12、24、(48)，是公比为2的等比数列。
每项第三部分数字依次为2、4、8、16、(32)，是公比为2的等比数列。
2.数位关系型
【例题3】 568， 488， 408， 246， 186， ( )
A.105 B.140 C.156 D.169
解析：此题答案为A。第一项568→56 8→56÷8=7、第二项488→48 8→48÷8=6、第三项408→40 8→40÷8=5、第四项246→24 6→24÷6=4、第五项186→18 6→18÷6=3。
即将每个数看成两个部分，百位数字和十位数字组成的两位数与个位数字，二者之商依次是7、6、5、4、3，则括号中的数两部分之商应是2，选项中只有A符合这一特征。
【例题4】 4635， 3728， 3225， 2621， 2219， ( )
A.1565 B.1433 C.1916 D.1413
解析：此题答案为D。第一项4635→46 35→46－35=11、第二项3728→37 28→37－28=9、第三项3225→32 25→32－25=7、第四项2621→26 21→26－21=5、第五项2219→22 19→22－19=3。
即将每个数看成两个部分，千位数字和百位数字组成的两位数与十位数字和个位数字组成的两位数，二者之差依次是11、9、7、5、3，则括号中的数两部分之差应是1，选项中只有D符合这一特征。
●组合数列内容提要
组合数列与分式数列类似，都是表现形式较特殊的数列，我们能够从它的特殊形式入手快速解决问题。间隔组合与分组组合数列必须由多个数项体现其规律，所以它的最大特点是项数较多。数位组合数列必须由多位数体现其规律，它的特点是数位较多，且比较齐整。
组合数列的能力要求
组合数列强调对数列整体特征的分析，对间隔组合数列来说比较强调对数字特征的敏感；对分组组合数列，强调相邻项间的运算关系；数位组合数列对能力的要求是综合性的。
国家公务员考试中最有可能出现的形式
近年，国家公务员考试未涉及此类题型，因为这类题型的外部特征过于明显。国考大纲对题型的描述也排除了求解两个空缺项的间隔组合数列。不过不排除出现形式更为新颖的组合数列，因此学习组合数列的重点是分析数列结构特征。
第二节图形形式数字推理
图形形式数字推理是数字推理的另一大类型，分布在图形中的数字由于位置不同而具有相应的运算关系。练习图形形式数字推理有助于提高运算直觉。
■ 圆圈形式数字推理
圆圈形式数字推理是数字排列在一个圆圈中的图形形式数字推理。其主要有两种：简单圆圈形式数字推理和带中心数字的圆圈形式数字推理。
● 简单圆圈形式数字推理
简单圆圈形式数字推理一般是四个数字分布在一个被四等分的圆中。这四个数字之间存在一定的运算关系，需要找出这个运算关系求解第三个圆中缺少的数字。
这类数字推理的核心是对数字进行分组，每组分别构造运算关系使两组数的运算结果相等。分组无外乎有纵、横、斜向(对角线)三个方面。
● 带中心数字的圆圈形式数字推理
这类题型是在简单圆圈形式的基础上于中心添加了一个数字，四周的数字通过简单运算得到中间数字。
■ 表格形式数字推理
表格形式数字推理顾名思义，数字是在表格之中。它与圆圈形式数字推理有相似之处，但也有很大不同。
表格形式数字推理主要分为两类，一类是带中心数字圆圈形式数字推理的变形，一类是标准意义上的表格形式数字推理。
● 带中心数字的表格形式数字推理
由上面两道例题可以看出这种表格形式数字推理实际上是带中心数字圆圈形式数字推理的变形。具体的方法可参见上文，强调对中心数字的把握。这两道例题的相似之处在于都是从中心数字入手一上来就确定了构造运算的大致方向。
● 标准表格形式数字推理
这种题目出现最多的是九宫格样式的数字推理，规律往往存在于行间或列间，也有很多是整体规律。做题时主要从这三个方向考察递推规律。
● 表格形式数字推理内容提要
表格形式数字推理代表了图形形式数字推理的另一大类，研究其规律可发现它与图形推理中的九宫格图形推理很相似，规律多集中在行列间，也有部分题目表现的是整体规律。
带中心数字的表格形式数字推理：解题方法与带中心数字圆圈形式数字推理一致。
标准表格形式数字推理：注意行列间的规律，以及一些整体的规律。
■ 第四部分 精选习题演练
1.4， 5， 7， 11， 19， ( )
A.27 B.31 C.35 D.41
5. 2， 3， 6， 18， 108， ( )
A.2160 B.1944 C.1080 D.216
参考答案及解析
1.【答案】C。解析：二级等差数列变式，差数列：1，2，4，8，(16)是公比为2的等比数列。
5.【答案】B。解析：典型积数列，18×108=1944。所以选B。
18.【答案】D。解析：前三个图为13+1=2，32+2=11，26+4=68，所以第四个图为42+3=(19)。
19.【答案】C。解析：每行三个数字之和依次是20，(30)，40是等差数列。
20.【答案】D。解析：(8－2)×(4－2)=12，(2－1)×(8－3)=5，(13－10)×(11－12)=(－3)。
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