上海市中考数学辅导--大题题型剖析_新浪教育

上海市中考数学辅导--大题题型剖析

http://www.sina.com.cn 2003/06/30 15:53 新闻晨报

　　在复习中，同学们做了大量的习题。大家是否发现：近年来的最后两道综合题的题型趋于稳定。在最后几天的复习中，让我们回顾、总结一下近年来的最后两道综合题的题型，将会收益非浅。

　　近年来的最后一道题，都是围绕着通过几何图形写函数式展开的。

　　2002年的最后一题：

　　操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。

　　(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；

　　(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

　　(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

　　分析：第(1)小题是带有几何图形的探索性试题。不妨用尺量一下。可知P Q＝PB。一旦把PQ＝PB这个结论确定下来，就可以用三角形全等的方法证明这个结论。

　　第(2)小题，由第(1)小题的结论可推得AM＝MP＝QN＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1-√2x。然后分别计算出△PBC和△CPQ的面积，四边形P BCQ的面积就等于这两个三角形的面积和，可得y＝x²-√2)。

　　第(3)小题又是一道带有几何图形的探索性试题。如果△PCQ成为等腰三角形的话，P点也只能在某些位置时，才能使△PCQ成为等腰三角形，或者无法使△PCQ成为等腰三角形。无论“是”或“不是”要通过计算才能确定。通过计算可知，当x＝0(即点P与点A重合)或x＝1时，△PCQ是等腰三角形。

　　2001年的最后一题：已知在梯形A BCD中，AD∥BC，AD＜BC，AD＝5，AB＝DC＝2。(1)如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A。

　　①求证：△ABP∽△DPC；②求AP的长。

　　(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长(不必写出解题过程)。

　　分析：第(1)小题：很明显，∠A＝∠D，所以只要证明另一组角相等，就能证明△ABP∽△DPC，从而对应边成比例，可求得AP的长为1或4。第(2)小题是模仿第(1)小题的方法，证明△ABP∽△DPQ，从而对应边成比例，与第(1)小题不同的是，对应边中含有x与y的式子。化简后得函数式为：y＝-x²＋x^-2 (1＜x＜4)。

　　模仿前面小题的解题方法，去解后面的小题，这在中考数学最后几题中经常出现。

　　2001年的最后第二题

　　如图，已知抛物线y＝(2 x)²-4 x＋m与x轴交于不同的两点A:B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点。

　　(1)求实数m的取值范围；(2)求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含有m的式子表示)；(3)若直线y＝√2x＋1分别交x轴、y轴于点E、F:问△BDC与△EOF是否有可能全等，如可能，请证明，如不可能，请说明理由。

　　分析：第(1)小题，根据数形结合的原理，令判别式大于零，可得出m的取值范围为m＜2

　　第(2)小题，顶点C的坐标为(1，m-2)线段AB的长度为√4-2 m，解得m＝1:此时，OF＝DC＝1:又∵∠EOF＝∠CDB＝90°∴△BDC≌△EOF∴△BDC与△EOF有可能全等。

　　2000年的最后一题：

　　如图，在半径为6，圆心角为90o的扇形OAB的上，有一动点P:PH⊥OA:垂足为H:△OPH的重心为G。

　　(1)当点P在AB上运动时，线段GO:GP:GH中，有无长度保持不变的线段？如有，请指出该线段，并求出其长度；(2)设PH＝x: GP＝y:求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。

　　分析：第(1)小题：在Rt△POH中，P点在动，△POH的位置也在动，但是斜边OP的长度保持不变。由于G为重心，所以延长HG交OP的中点M，HM＝3，GH＝×3＝2。

　　第(2)小题，要求P H＝x与G P＝y的函数关系式。由于这不是直角三角形，所以延长PG交OH于N点，则△PNH为直角三角形。因为P G＝y，则GN＝y，∴PN＝y。而OH＝√36-x²。在Rt△PNH中：PN2＝NH2＋PH2化简后得：y＝√36＋3x²0＜x＜6)

　　第(3)小题是一道分类讨论题，如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。PH就是第(2)小题中，函数y＝√363x²中的x，GP是y，GH是常量2。若PH＝GP，即x＝y，x＝√363x²。若PH＝GH，而GH＝2，所以PH＝2。近年来最后第二题是围绕着坐标系内的几何问题展开的。

　　2002年的最后第二题

　　如图，直线y＝x＋2分别交x:y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9:(1)求点P的坐标；(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标。

　　分析：第(1)小题，由题意，得点C(0:2)、点A(-4:0)，设点P的坐标为(a:a＋2)( a＞0)，由S△ABP＝9可得a＝2 ( a＝-10舍去)∴P点坐标为(2，3)。

　　第(2)小题∵点P在双曲线上，∴反比例函数的解析式为y＝6

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