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2008年高考数学复习:数列专题热点指导http://www.sina.com.cn
2008年01月08日 09:27 城市快报
天津市第四十二中学 张鼎言 假设ak>α,由上面的递推式,用比较法: ak+1-α=--α =- =- 而α是方程x2+x-1=0的根, ∴ak+1-α=->0 ∴ak+1>α 由上数学归纳法可证an>α 分析(3)由(2)an>α,又an>α>β ∴an>β bn=ln-有意义,同理an-β=-(n≥2) bn=ln- =2ln-=2bn-1 b1=ln-=2ln- =2ln- =4ln- Sn=- =b1g(2n-1) =(2n+2-4)gln- 注:本题的关键是第(2)问,通过an+1-α,不等式比较法,建立了递推关系。 7. 数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=-,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,… (Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2),并求Sn关于n的表达式; (Ⅱ)设fn(x)=-xn+1,bn=fn1(p)(p∈R),求数列{bn}的前n项和Tn。 解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),(n2)。 (n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1) 两边同除以n(n-1), -Sn=-Sn-1+1 设cn=-Sn, cn=cn-1+1, 由S1=a1=-,c1=1 ∴cn=1+(n-1)=n Sn=- (Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1,f'n(x)=nxn bn=npn 设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1) 当p=0时,Tn=0 p=1时, Tn=1+2+…+n=-n(n+1) pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2) (1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1 ∴Tn=---,(p≠0, p≠1) 注:在递推关系中,设cn是关键,从Sn-1→Sn与-→-是同样的递推。在递推中着眼点是关于n的结构上的一致性。 8. 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求a1,a2; (Ⅱ)求{an}的通项公式 (Ⅰ)n=1,a1=S1,(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,a1=-; n=2,S2=a1+a2=-+a2, S2-1=a2--, 代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0,a2=-,S2=-+-=-; (Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0, (Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0,Sn·Sn-1-2Sn+1=0 以上是把an转化成Sn,理由是把Sn转换成an走不通,实际上求出Sn,an也可求出。 由S1=-,S2=-,进一步可求出S3=-,猜想Sn=-,用数字归纳法n=2时命题成立,假定Sk=-, 由关于Sn的递推式, Sk+1=-=-=-, ∴Sn=-,an=- 注:由递推公式求通项,从特殊到一般,先求出n=1,2,3,…归纳假设提出猜想,再去证明猜想。 9. 已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0 证明(Ⅰ)0 (Ⅱ)an+1<-an3 证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an),是以函数形式给出的递推关系,-, 先用数学归纳法证明:0 n=1由已知0 考虑函数f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx, ∵0 ∴f'(x)>0,f(x)↑ f(x)在[0,1]上连续 ∴f(0) ∴0 又∵an+1=f(an)=an-sinan,00, ∴an-an+1=sinan>0 ∴0 (Ⅱ)要证an+1<-an3,需证-an3-an+1>0,构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0 g'(x)=-x2-1+cosx =-x2-2sin2- =2[(-)2-(sin-)2] 当0<-<-时,用单位圆易证->sin->0 ∴g'(x)>0,g(x)↑0 ∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0 -an3>an-sinan=an-1 注:本题是以函数形式确定递推关系,把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。 特别说明:由于各方面情况的不断调整与变化,新浪网所提供的所有考试信息仅供参考,敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。
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