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2008年高考数学复习:数列专题热点指导http://www.sina.com.cn
2008年01月09日 09:53 城市快报
天津市第四十二中学 张鼎言 10. 已知数列{xn},{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且 -=λ-,-λ-(λ为非零参数,n=2,3,4,…) (Ⅰ)若x1,x3,x5成等比数列,求参数λ的值; (Ⅱ)当λ>0时,证明--(n∈N*); 当λ>1时,证明-+-+…+-<-(n∈N*) 解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ;n=3 -=λ-→x4=λ3 n=4 -=λ-→x5=λ6 ∵x1,x3,x5成等比 ∴x32=x1·x5→λ2=λ6,λ≠0 ∴λ=±1 (Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-,∴-=λn-1 y1=y2=2>0,λ>0→yn>0 -λ-λ2-…λn-1- ∴-λn-1→-- ∴-- (Ⅲ)由已知 x1=x2=1,y1=y2=2,y3λy2,x3=λx2 又λ>1,∴y3>x3 进一步易推得 yn>xn -=-,yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0 -- --=- ∴--,(n2) -+-+…+-1+-+…+-<-=- 注:第(Ⅱ)问是用逐次代入法解决等量与不等量递推。 (三)综合题与应用题 综合题主要是数列与函数,数列与不等式的综合.数列部分的应用题是以“增长率”为基础加以变化. 1. 已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f'(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=-,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<-对所有n∈N*都成立的最小正整数m。 解(Ⅰ)∵f(x)的图像经过坐标原点 ∴f(0)=c=0 又f'(x)=2ax+b=6x-2 ∴a=3,b=-2 ∴f(x)=3x2-2x Sn=f(n)=3n2-2n, a1=S1=1 Sn-1=3(n-1)2-3(n-1) an=Sn-Sn-1=6n-5,n2 a1=1也满足上式 ∴an=6n-5,(n=1,2,…) (Ⅱ)bn=-=-[---] Tn=-(1--)<- m>10-- g(n)=10--,n↑,g(n)↑ -g(n)=10 ∴m=10 注:本题是函数与数列综合,第(Ⅱ)问要有极限思想。 2. 已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn2=3n2an+Sn-12,an≠0,n=2,3,4,… (Ⅰ)证明:数列{-}(n2)是常数列; (Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列; (Ⅲ)证明:当a∈M时, 弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。 解:(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan, (Sn+Sn-1)gan=3n2gan,n2,an≠0 ∴Sn+Sn-1=3n2 Sn+1+Sn=3(n+1)2 两式相减:Sn+1-Sn-1=6n+3 ∴an+1+an=6n+3 an+2+an+1=6n+9 又两式相减an+2-an=6,n2 -=-=-=e6。得证 分析(2)由Sn+Sn-1=3n2 n=2:S2+S1=12→a2=12-2a 由an+1+an=6n+3 n=2:a3=3+2a n=3:a4=18-2a a2,a4,…,a2k是以a2为首项,公差为6的等差递增数列。 a3,a5,…,a2k-1是以a3为首项,公差为6的等差递增数列。 若{an}为递增数列,应有a1 - 证明(3)kn=-,kn+1=- 分析:{an}↑,{-}↑,要证{kn}↑ 注意到,{an}不是以6为公差的等差递增数列,用比较法kn+1-kn在计算中显然行不通。过去是“量”的转换,现在把数列转换成函数,用函数单调性解决数列的单调性。 设函数f(x)=- f'(x)=-,需证f'(x)>0,可推出f(x)↑ 又设g(x)=ex(x-x0)-(ex--) g'(x)=ex(x-x0) xx0 g'(x)>0,g(x)↑, ∴x=x0是g(x)唯一极小值点。 ∴g(x)>g(x0)=0,即g(x)>0 ∴f'(x)>0,f(x)↑ 单调区间(-∞,x0)∪(x0,+∞) 上面是把数列转化为函数,下面还要把函数转化为数列。 令x0=an,an ∴-<- 再令x0=an+2,an ->- ∴kn 注:数列也是函数,用处理函数的思路,与方法也适用于数列,关键是抓住“转化”的转折点。 特别说明:由于各方面情况的不断调整与变化,新浪网所提供的所有考试信息仅供参考,敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。
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