2008年高考数学复习:解析几何专题热点指导

http://www.sina.com.cn 2008年05月05日 09:27   城市快报

2008年高考数学复习:解析几何专题热点指导
图1

  天津市第四十二中学 张鼎言

  3. 设A,B分别为椭圆-+-=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线。

  (Ⅰ)、求椭圆的方程;

  (Ⅱ)、设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。

  解:(Ⅰ)由已知a=2c,-=4

  故椭圆的方程为-+-=1

  (Ⅱ)要证点B在以MN为直径的圆内,需证∠MBN>90°。用向量数量积方法要考虑B、M、N三个点的坐标,其中M、N两个点的坐标在运算上都有难度,我们转化为证明∠MBP<90°,这时用点P的坐标使问题简化。如图,不妨假定y0>0,y1>0

  由平面几何,

  -=-=-,

  y0=-,

  M在椭圆上,

  即y12=-(12-3x12)

  -=(x1-2,y1),

  -=(2,y0)

  -·■=2(x1-2)+y0y1=2(x1-2)+-=2(x1-2)+-(2-x1)=-(2-x1)

  而-2

  ∴-·■>0,

  ∴cos∠MBP>0,

  ∠MBP<90°,

  ∠MBN>90°

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