考研数学线代向量组的线性相关性

　　1。个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

　　含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

　　1。①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）

　　②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）

　　③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）

　　2。矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；（例14）

　　3。；（例15）

　　4。维向量线性相关的几何意义：

　　①、线性相关；

　　②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；

　　③、线性相关共面；

　　5。线性相关与无关的两套定理：

　　若线性相关，则必线性相关；

　　若线性无关，则必线性无关；

　　若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

　　若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；

　　简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

　　6。向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则（二版定理7）；

　　向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）

　　向量组能由向量组线性表示

　　有解；

　　（定理2）

　　向量组能由向量组等价（定理2推论）

　　7。方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

　　①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

　　②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

　　③、矩阵等价：（、可逆）；

　　8。对于矩阵与：

　　①、若与行等价，则与的行秩相等；

　　②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

　　③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

　　④、矩阵的行秩等于列秩；

　　9。若，则：

　　①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

　　②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

　　10。齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

　　①、 只有零解只有零解；

　　②、 有非零解一定存在非零解；

　　11。设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）

　　其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

　　（必要性：；充分性：反证法）

　　注：当时，为方阵，可当作定理使用；

　　12。①、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关；（）

　　②、对矩阵，存在， 、的行向量线性无关；

　　13。线性相关

　　存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

　　有非零解，即有非零解；

　　，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

　　14。设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

　　15。若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）