考研数学常见题型：微分中值定理的证明

　　考试大纲对于考研数学的考查目标是这么定义的：要求考生比较系统地理解数学中的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。针对高等数学考试中常见的题型——微分中值定理的证明我们给总结一下常见的方法，希望对于2019考研的同学们有所帮助。

　　与中值定理有关的问题一直是我们考试的难点也是重点内容，我们主要是针对含有一个中值的问题来给大家总结一下方法：

　　1、证明存在一点，使得（1，2，…）。

　　方法一：验证在[，]上满足罗尔定理的条件，由该定理即可得到证明。

　　方法二：若在[，]上连续，在（，）内阶可导，且在区间[，]上存在

　　（1，2，…，），满足==…=，则由罗尔定理知，

　　存在，使得，1，2，…。

　　同理，存在，使得，1，2，…。

　　反复使用罗尔定理，最终可证得存在一点，使得。

　　方法三：验证为的极值点，用费马定理即得结论。

　　2、证明存在一点，使得。

　　这类题目的证法通常是先构造辅助函数，然后利用罗尔定理证明。步骤如下：

　　（1）构造辅助函数。常见的辅助函数构造方法有：

　　①原函数法：先将换为，然后将式子恒等变形，以便积分，按照常微分方程求解后，将所得式子分离常数得，则即为所需的辅助函数。

　　②观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数。

　　③常数比值法，它适用于常数已分离的命题。

　　（2）验证辅助函数满足罗尔定理。

　　（3）由罗尔定理的结论得命题的证明。

　　3、证明存在一点使得关于，，，或，，，…，的等式成立。常用证法：

　　（1）利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理直接进行证明。

　　（2）通过移项，使等式一端化为零，转化为“证明存在一点使得

　　”的问题。

　　来源：万学海文