清华同方教育技术研究院数学所所长 特级教师 王建民

　　提高自身的认知水平，优化思维品质，提高能力，突破解答题中综合性难题中的难点，是每个高三学生所期盼的。北京市著名特级教师王建民老师，围绕“解好难题的对策”这一问题，以高考数学试卷的结构为经线，以高考对能力的要求为纬线展开，根据多年指导高考的经验，为考生提供以下备考策略：

　　王老师提出对策：

　　1.“翻译”转化，弄清已知，明确目标，理顺思路。学生应理解题意，将题目转化成明确的已知，求证(解)，以寻求解题思路。

　　2.辨别题型，设计方案寻求最佳解法。学生在阅题后，应分清属于什么类型；通常用什么数学方法解决？应注意什么问题？在采用一些综合方法后，问题可能得以解决。

　　3.解前估测猜想，解后检验思考，总结经验教训。对于大题，解前估测猜想，尽可能猜到结论；解完后核对猜想是否正确？可能出现诸如估测错误或过程错误，这是好事，便于总结经验教训。

　　下面，以本讲中的例1为例说明：

　　例.已知函数f(x)=ax²-1 (a∈R，x∈R)，集合A={x|f (x)=x}，B={x|f[f(x)]=x}且A=B≠Ø，求a的取值范围.

　　分析：这是一道集合、函数的综合题。已知是什么？A、B中含有什么元素？A：方程ax²-1=x的实根(二个，一个或没有)其几何意义是抛物线y=ax²-1与直线y=x的交点个数。

　　B：a(ax²-1)2-1=x的实根个数，最多4个或有2个或没有，

　　即y=f(x),f(y)=x的解中x的值.

　　其几何意义曲线y=ax²-1与曲线x=ay²-1的公共点的横坐标，把①的x、y对调就变为②，故曲线①与②是关于y=x对称。条件A=B≠Ø，说明A、B中元素相同且不空。

　　ax²-1=x有实根且与方程a(ax²-1)²-1=x同解，其几何意义是曲线y=ax²-1与直线y=x有交点，且交点就是曲线y=ax²-1与x=ay²-1的交点。

　　基于以上的分析，我们不难得到解题对策及方案。

　　附：王建民，特级教师，清华同方教育技术研究院数学所所长。长期战斗在高考教学一线，具有新颖独到、行之有效的高考复习理论和方法，著名高考研究专家。

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