一、确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。如果是，说明相关运算所具有的性质(指交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律)

　　和特异元素(单位元，零元，逆元)

　　1. A=Z，x☉y=x+y-2xy，任意x，y∈A

　　2. A=R，x☉y=|x-y|，任意x，y∈A

　　3. A=P({a，b})，两个运算分别为集合的交和对称差

　　4. A为n阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。(12分)

　　解答：

　　1.封闭。有交换、结合。消去律。单位元0，0的逆＝0，1的逆＝1。

　　2.封闭。有交换律。

　　3.两个运算都封闭。

　　∩运算有交换律、结合律、幂等律。单位元{a，b}，零元Φ。

　　⊕运算有交换律、结合律、消去律。单位元Φ。

　　∩运算对⊕运算有分配律。

　　对于∩运算，只有{a，b}有逆元，{a，b}的逆＝{a，b}。

　　对于⊕运算，任意x∈A，x的逆＝x。

　　4.乘法封闭，加法不封闭。

　　乘法有结合律、消去律。单位元为n阶单位矩阵。

　　任意x∈A，x的逆元为逆矩阵x的逆。

　　二、设代数系统V=，任意x，y∈A，x☉y=max{x，y}，试给出V上除IA，EA之外所有的同余关系和对应的商代数。(12分)

　　解答：

　　同余关系：R1＝IA∪{<1，2>，<2，1>}。

　　R2＝IA∪{<2，3>，<3，2>}。

　　设R1、R2对应的商代数分别为V1和V2，则

　　V1＝{{1，2}，{3}} V2＝{{1}，{2，3}}

　　V1 {1，2} {3} V2 {1} {2，3}

　　{1，2} {1，2} {3} {1} {1} {2，3}

　　{3} {3} {3} {2，3} {2，3} {2，3}

　　三、设G为模5加群

　　1. 给出G的自同构AutG的运算表

　　2. 画出AutG的子群格的哈斯图

　　3. 说明L是否为分配格、有补格和布尔格

　　(14分)

　　解答：

　　AutG＝{Ψ1，Ψ2，Ψ3，Ψ4}，其中Ψ1，Ψ2，Ψ3，Ψ4∈S4且Ψ1＝(1)，Ψ2＝(1243)，Ψ3＝(1342)，Ψ4＝(14)(23)

　　Ψ1 Ψ2 Ψ3 Ψ4

　　Ψ1 Ψ1 Ψ2 Ψ3 Ψ4

　　Ψ2 Ψ2 Ψ4 Ψ1 Ψ3

　　Ψ3 Ψ3 Ψ1 Ψ4 Ψ2

　　Ψ4 Ψ4 Ψ3 Ψ2 Ψ1

　　AutG

　　{Ψ1，Ψ4}

　　{Ψ1}

　　L为分配格，不是有补格，不是布尔格

　　四、G为n阶群，C为G的中心，证明【G:C】不是素数。(12分)

　　解答：

　　方法一：

　　证：如G为Abel群，命题显然为真，固为【G:C】＝1。

　　若G不是Abel群，则C＜G，存在a∈G-C。

　　假设【G:C】为素数p，令N(a)＝{x|x∈G∧xa＝ax}

　　则C≤N(a)≤G，N(a)也是G的子群，

　　由Lanrange定理有|G|＝【G:C】·|C|和|G|＝【G:N(a)】·|N(a)|。

　　又由于|C| | |N(a)|，必有【G:N(a)】|【G:C】。即【G:N(a)】＝p或1。

　　由于a不属于C，若C＜N(a)，从而【G:N(a)】≠p即【G:N(a)】=1。

　　从而N(a)＝G，即a∈G，与a不属于G-C矛盾。

　　方法二：

　　证：假若【G:C】为素数p，则|G/C|＝p，所以G/C为循环群。令G/C＝，任取x∈G，

　　有Cx＝(Ca)的k次幂＝Ca的k次幂，k∈Z。所以有x＝C1的逆×C2×a的k次幂，其中C1，C2∈C。

　　所以xa＝C1的逆×C2×a的k次×a＝C1的逆×C2×a×a的k次＝a(C1的逆×C2×a的k次)＝ax

　　所以a∈C，从而G/C＝{C}，与|G/C|＝p矛盾。

　　五、由集合{5·a，1·b，1·c，1·d，1·e}中的全体元素构成字母序列，求

　　1. 没有两个a相邻的序列个数

　　2. b，c，d，e中的任何两个字母都不相邻的序列个数

　　(12分)

　　解答：

　　1.以a为格子分界，放b，c，d，e进入4个格子，方式数为4！＝24。

　　2.以b，c，d，e为格子分界，分解方法数为4！，然后将3个a插入3个格子，最后将2个a插入三个格子及前后共5个位置，方法数为X 1＋X2＋X3＋X4＋X5＝2的非负整数解数，即为(5＋2-1，2)15

　　所求方法数为15×4！＝360

　　六、求和

　　n

　　∑ C(2n，2k)

　　k=0

　　(10分)

　　解答：

　　n

　　∑ C(2n，2k)

　　k=0

　　2n 2n

　　＝1/2×[∑ (2n，k)＋∑ (-1)的k次×（2n，k)]

　　k=0 k=0

　　＝1/2×（2的2n次＋0)＝2的2n-1次(n≥1)

　　n

　　∑ C(2n，2k) ＝1(n＝0)

　　k=0

　　七、用m种颜色涂色正六边形的顶点，如果允许这个六边形在空间任意运动，求不同的涂色方案数。(12分)

　　解答：群G的结构为

　　(。)(。)(。)(。)(。)(。) 1个

　　(。。。。。。) 2个——逆时针旋转600，3000

　　(。。。)(。。。) 2个——逆时针旋转1200，2400

　　(。。)(。。)(。。) 1个——逆时针旋转1800

　　(。。)(。。)(。。) 3个——绕对边中点连线轴旋转1800

　　(。)(。)(。。)(。。) 3个——绕对脚线旋转1800

　　M＝(1/12)×[m的6次＋2m＋2×m的2次＋4×m的3次＋3×m的4次]

　　八、设n为给定自然数，求平面上由直线x＋2y＝n与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上)的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。(16分)

　　解答：

　　x＋2y＝r线上的顶点数为方程

　　x＋2y＝r；x，y∈N的解的个数，令为ar，{ar}的生成函数为

　　A(z)＝1/(1-z)(1-z的2次)＝1/4 ×1/(1＋z)＋(-z/4＋3/4)×1/(1-z)的2次

　　∞ ∞ ∞

　　＝1/4×∑(-1)的r次×z的r次-z/4×∑(1＋r)z的r次＋3/4∑

　　r=0 r=0 r=0

　　(1＋r)z的r次

　　Ar＝r/2＋3/4＋1/4×（-1)的r次

　　所求点数

　　n ∞

　　N＝∑Ar＝∑(r/2＋3/4＋1/4(-1)的r次)＝1/4(n＋1)

　　r=0 r=0

　　(n＋3)＋1/8(1＋(-1)的n次)

　　＝1/4(n＋2)的2次 n为偶数

　　1/4(n＋1)(n＋3) n为奇数