余数同余问题是数学运算考察的传统重点，也是难点题型。华图教育[微博]提示您，虽然近年来考察有所减弱，但对于基础知识与基本题型方法的掌握扔不可轻视。行测考试数学运算中余数问题侧重考查考生的逐步分析能力。在解答余数问题时需要考生充分利用相关知识点排除不可能的情形，这需要考生具备比较高的分析能力。下文用真题为例，说明余数问题的解题思路。

　　按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 代入排除类型、余数关系式和恒等式的应用、同余问题、同余问题的延伸。

　　一、代入排除类型

　　【例1】学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少；排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学生人数是多少？( )

　　A.102                         B.98

　　C.104                         D.108

　　【华图解析】对于余数问题我们可以优先考虑代入排除法。直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，选项108满足条件，因此选择D选项。

　　【例2】在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？(    )

　　A.237                                                     B.258

　　C.279                                                     D.290

　　【华图解析】对于余数问题我们可以优先考虑代入排除法。根据题目可得被除数+除数=319-21-6=292。直接代入选项，如代入A项，可得除数为292-237=55，利用被除数=除数乘以商再加余数，这个等式利用尾数法，来快速排除答案。最后可得选择C选项。

　　二、余数关系式和恒等式的应用

　　余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数＜除数)，但是在这里需要强调两点：

　　1、余数是有范围的(0≤余数＜除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。

　　2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商＋余数。

　　【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？(   )

　　A.216　　　                   B.108

　　C.314　　　                   D.348

　　【华图解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。

　　【小结】像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点，我们就可以快速的解题。

　　三、同余问题

　　这类问题也是考试中比较常见的一类，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示：

　　同余问题核心口诀 “余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数作周期” 。

　　余同取余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是 60n+1；

　　和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是 60n+7；

　　差同减差：“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是 60n-1。

　　说明：在这里，n的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。

　　只要出现了同余问题，我们可以直接利用口诀：“余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数作周期”就能快速的找到题目所要求的数字。

　　【例4】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有多少个？

　　A. 5个 　　　                  B. 6个

　　C. 7个 　　　                  D. 8个

　　【华图解析】根据题目除以5余2，除以4余3，我们知道除数与对应余数与商的和相同，对应的为“和同加和”，满足这两个条件的数可以表示为，B=20n+7，表示除以20余7；再加上之前的条件除以9余7，对应的为“余同取余”，我们得到这个数可以表示为180n+7，由于这个数为三位数，所以n可以取1、2、3、4、5，所以共5个。

　　四、同余问题的延伸

　　公务员[微博]行测考试中常见的集中情况和中国剩余定理，就是同余问题的延伸，那么接下来我们就重点研究中国剩余定理。了解中国剩余定理在解决实际问题中的应用。中国古代着名数学着作<孙子算经>记载，"今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"此问题为中国剩余定理的原型。下面介绍我们改如何来应对此类的问题。

　　【例5】物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品至少有多少个？(    )

　　A.21                      B.23 

　　C.37                      D.43

　　【华图解析】余数问题，可考虑代入排除法，选择B选项。

　　【例6】以上题为例：物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品有多少个？(     )

　　【华图解析】此时用同余问题的口诀不能再解决此类的问题了，那么我们还可以考虑，满足除以3余2的最小数为2，在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8；在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个数最小为23,。所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，所以满足条件的数可以表示为105N+23(n=0、1、2、3....。。)类似于同余问题，最小公倍数做周期。我们解决此类问题考虑的方法是层层推进的解法。

　　有些题目可以直接利用其口诀做题，而有些题目不可以直接利用其口诀做题，用层层推进的解法又较慢，那我们该怎么办呢？

　　巧妙应用---余同、和同、差同的构造思想

　　【例7】某出版社工作人员将一批书打包，每包装11本则多出5本，每包装13本则多出6本，每包装15本，则多出7本，问这批书至少有多少本？

　　A.1072                           B.2144   

　　C.2145                           D.3217

　　【华图解析】这一批书的本数设为A,此时A满足除以11余5，除以13余6，除以15余7，经观察发现余不同、差不同、和不同，但是我们可以将数的数量乘以2，这时2A满足除以11余10，除以13余12，除以15余14，由此我们已经构造出了三者之差均为1，根据“差同减差，最小公倍数做周期”，2A=2145n-1(2145为11、13、15三者的最小公倍数，n为1、2、3....。。)2A最小为2144，因此这批书只少有2144÷2=1072本书。选择A选项。

　　【提示】遇见此类问题时，我们将其构造成同余问题，再直接利用口决“和同加和，最小公倍数作周期”最后找到所求的那个数的2倍，再除以2才是正确的答案。

　　【例8】从1、2、3、4...51、52这52个数中，取出若干数使其中任意两个数的和都不能被5整除。最多可以取多少个数？(  )

　　A.20                             B.21

　　C.22                             D.23

　　【华图解析】将这52个数按照除以5的余数进行分组，如下：

　　除以5余1的：共11个

　　除以5余2的：共11个

　　除以5余3的：共10个

　　除以5余4的：共10个

　　除以5余0的：共10个

　　取出若干数使其中任意两个数的和都不能被5整除，只要不同时出现余1+余4、余2+余3的组合就可，最多可以拿全部除以5余1的、余2的，(11为最多的数)另外还可以拿1个除以5余0的(不能出现两个除以5余0的) 共11+11+1=23个

　　华图公务员考试研究中心认为针对行测考试中出现的此类问题，只要大家掌握余数的基本点，包括关系式和恒等式等，牢记同余问题的解决口诀，清楚对公倍数(或最小公倍数)的求法，知道如何去找最多个数，再遇到类似的余数同余问题，就能轻松、快速地解决掉。