数学考试不是智力竞赛，大多数考题突出主干
难见白开水型题目，难度适中，注重考查数学思维与能力
主持人：虽然没有参加今年高考，但是经过刚才两位老师讲解，听到的最多问题是不难、非常简单、没有难度。我就在想今年的高考对于广大考生来说是不是真的是特别简单？因为刚刚二位老师从老师的角度，但是从学生的角度来说，他们是不是真的会认为比较容易呢？
孟祥飞：对，这个问题主持人问得非常关键，否则我们下去会被广大网友一顿喷。
这个问题确实需要指出一下。因为有时我们讲课或者是讲话多了以后不是特别严谨，我们之前两个人还在碰的时候说我们一定不能说这个题简单，应该说这个题突出主干，非常大气，用这种词。但客观地来讲，我们刚才说的这几个题目其实和它平时训练的模考题来讲难度不在一个级别上。
主持人说到难度，我讲一下。进入演播厅我们开玩笑，第一天考语文和数学，因为我经常陪学生考，我经常发现考完语文，很多学生出来以后都特别高兴、特别开心，各种对题。家长的心情也不错，问的最多就是同学今年作文考的什么？家长的参与感还很强。数学考完以后，气氛完全不一样。首先跑出来以后，学生就没有欢歌笑语了。
主持人：心情非常沉重。
孟祥飞：对，偶尔两个同学在对题，基本上很少有学生对题，我们一般嘱咐学生不要对题。比如语文作文对题，能对出什么？不大可能。但是数学很严谨、很客观，如果两个人里不一样，肯定是有人错了。所以，其实学生出来以后，第一，他的表情比较凝重，家长参与感明显渐弱。
主持人：不敢问了。
孟祥飞：这时你发现多数学生在考试的时候都会有一个习惯，他会把他不会做的题，那种困难度放大，他的眼里只会有不会做的题，可能忘了你有大量的题其实是会做的。数学考试毕竟不是智力竞赛，其实没有纯动脑筋的，我经常讲展示你个人风采的这种题其实没有，多数题，只要你认认真真踏踏实实学的同学，这道题你一定能够做出来的，绝大多数都是这种题。
回到难度，确实现在数学题的难度并不像我们刚刚说的可能那么简单。其实我们刚才可能想表达的主要意图是大多数题目考的都是非常突出主干的，基础知识很重要。
主持人：如果掌握了一些必要的基础知识，能做出来应该是没有问题。
孟祥飞：对，但是你要说试题简单，我也不是特别赞同。为什么？因为我们高考毕竟是选拔型考试，不可能有白开水型题目。我经常跟学生开玩笑，不可能一道题目说同学给你分你要不要？你写一个要，不可能有这种题。再简单的题，里面也会设计一些区分度难度。
尤其我们在这边想强调的是，我们发现最近几年的考题，尤其今年还提到数学文化，我们私底下吐槽不够文化，只是以数学为背景。近几年考试有一个特点，还是比较突出学生的数学思维和数学能力。我们一般讲数学可能分为几个不同的知识的层级，最简单的可能是课本的公式、定义、概念，再注意就是基本题型和对应方法。很多同学一说数学就是做题，一说做题就给分类。所以，基本的题型和对应的方法，可能是第二个层级的学习。我们觉得数学中最最重要的其实是第三个层级的学习，所谓的数学思想和数学能力。比如就是我们还是就高考题看一看，跟刚才的观点可能会有一些冲突，但是相信很多网友能够理解，并不矛盾，突出主体知识，重视基础知识的考察，同时会设计一些数学思维和数学能力的难点在里边。所以，这个试题你在做的时候，我个人判断学生的感觉是什么？他入口的时候会觉得很亲切，但是你自己做了以后又发现又不是那么平淡，不是白开水。
比如今年有几个题，其实我真的个人也比较喜欢。一个是新课标1卷的11题，题干非常简单，2的X次幂等于3的Y次幂，等于5的Z次幂。给了这三个数以后，说你比较一下X、Y、Z乘了2、3、5之后的大小。很多同学特别喜欢做这种题，因为题干非常简单。有时我们开玩笑一看就会，一看就不会，特别节约时间，不用纠结，简单明了。
很多同学拿到这个题以后就无从下手，指数的知识会吗？会，相等也可以理解，但是不知道怎么下手。我们发觉这个题里蕴含了很多高于所谓的基本知识的层面，我们所谓的数学思维。这个数学思维其实很重要的是“特殊与一般”。什么叫“特殊与一般”呢？这个题很有意思，2的X次幂等于3的Y次幂，等于5的Z次幂，如果你高中基础知识足够扎实，基础知识非常重要，你就知道这个题是三个函数，可以画三个图。只要能想到这个图，其实就具备了第一个思维，叫数形结合能力。当画出图之后发现这三个如果相等其实有很多情况，因为这三个图，高中同学肯定知道，三个指数函数都是递增，要让它相等就是让函数值纵坐标一样，最后无数种情况。比大小的时候你就发现，这个感觉像什么？我要比较三个未知的大小，或者叫三个变量的大小。变量，变量，肯定是不确定的。如果用我们通俗语言来讲，它是一个一般化的、大众化的，它有很多很多种情况。如果你真的想比较，可以怎么办？当然就取特殊值。也就是你不一定非得去比较这几个变量，你可以让2的X幂，3的Y次幂等于5的Z次幂，你直接让它等于2，如果都等于2，2的X次幂等于2，那X肯定是1，因为2的1次幂等于2，X就已经出来了。接下来3的Y次幂、5的Z次幂都等于2，就是出现对数，也是一个非常基本的概念。
你就比较这几个最常见的对数和2之间的大小就可以了。
主持人：就是换一种方式。
孟祥飞：对，所以这个题说实话，如果你的方法是得当的，就是我刚才说的，你采用一个特殊值方法来处理。我真心觉得这个11题去掉一个1都可以，直接放到第1题都可以。但是这个题难点这么一设计，不告诉你具体的值，让你比较X、Y、Z，出现变量，它放在11题这个位置非常合适，这就是所谓的数学题做起来非常难，难点就在哪儿？就在数学思维上。
这个题给我很深的印象。浩波老师觉得2卷哪个题给你比较深的印象？
杨浩波：2卷的题其实你会发现，刚才孟老师也谈到数学当中一个非常重要的思想是“特殊与一般”的思想，现在我给大家分析一下。会发新课标2卷今年出了一个考题，也蕴含了一个非常重要的思想叫数形结合的思想。考完新课标2卷的同学都知道，今年12题考到向量的问题，一般来说数学当中向量的题一般两种处理方法，一种是代数处理方法，一种是几何处理方法。这类题放在12道题的位置，12题是选择的压轴题，也是选择的最后一道题。压轴题更侧重考察同学的数学思维，不可能用我们平常做题的方法，单用代数或者单用几何把题做出来，显然是不靠谱的，显然这道题你会发现，拿到的时候就应该具备数学思维，我们既要使用代数的方法，也要使用几何的数学方法，就是数学当中非常重要的方法，叫数形结合，借着图来看数，借着数，把数转化成图形来进行理解。
这道题叙述出来非常简单，有一个正三角形，三边都是相等的。三角形平面当中所在的任何一个点，可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，就和这个三角形的三个顶点分别连接起来得到三条向量，这样去求三个向量的某种关系的数量积。拿到这类题，我们从专业的角度来讲，如果你想这个P点是任意的话，如果建立一个平面直角坐标系，P点会产生两个坐标，一个是X，一个是Y，最后建立出来向量最后的值是一个二元函数。二元函数是什么？我们发现中学最多学到的是求极值是关于一元函数的极值。二元函数这一类的极值一般我们解决要到大学里来解，不详细给大家讲。你会发现如果我们仅仅是用高中的知识是无法求解光用代数处理出来的二元函数的极值，到了这一步，我们就应该怎么办？应该把含有两个元的未知数降到含有一个元的未知数方程式当中去处理，也就是我们要减少它的未知数的量。到此为止会发现，我们要尽可能使得点P不再是那么任意地出现在平面上，我们要找到点P一个更特殊的位置。显然为了找到点P更特殊的位置，这个时候我们就要通过这个图形的方法去找到这个点P可能出现的一些方位。最后我们通过向量的最大和最小值的判断方法，我们发现这个点P，我们可以把它固定在这个正三角形ABC的高上。你想，一旦把这个点P固定在三角形ABC的高上，显然你要设立一个未知数，就是这个点P与底边的距离，就变成只有一个元的未知量，只要掌握这个数形结合的思想，把两个元的一个二元函数的极值问题转化为处理一个元的一元函数的极值问题，现在大家就很容易做了。
给大家讲一下做题的一些技巧方面。由于三角形ABC非常特殊，一般我们高考当中也会出现一些特殊图形的题目，比如说正方形、矩形，像这些图形做题的时候就应该关注它的对称的几何中心，比如正三角形，我们要关注它有三个顶点和它的几何中心，或者高的中心，比较对称的一些点。如果找到点P的位置之后，你要处理这个题可能设未知数比较麻烦，就可以通过试数的方法，尝试比较特殊的点取得它的值，从而把答案求出来。数形结合的思想其实在我们的生活当中或者在我们做题当中的运用是非常广泛的。
数学思维不是套路而是感觉
学数学就像做研究，要有好奇心与主动精神
主持人：其实对于考生来说，比如说基础知识的确是他靠平常的努力、刻苦学习可以积累的。刚刚两位老师都谈到数学思维，比如我们在平常怎么去培养数学思维？
孟祥飞：这个问题其实也是我们数学老师，可能每天都在思考的一件事。当然我的描述可能不是特别准确。我们知道知识有时可能是显性，有时可能是隐性，标准定义不是那么简单。我们会看到有些知识其实特别容易被总结出来也很容易被传达。我刚才说数学大概有三个层级，第一，概念公式、基本定义。另外，题型方法。这个很容易总结。我经常也开玩笑，很多老师在教学中比较倾向于“‘只要’、‘就’的句型”，同学只要见到什么就怎么写，学生特别喜欢这种。
主持人：也就是我们所说的套路。
孟祥飞：这条路就是套路。这些东西都是特别易于总结和语言表达的。但是还有一些东西说实话，它很难用语言精确表达。我觉得数学思维其实真的就是这么一个感觉。比如我打一个比方，可能也不是特别恰当。数学思维有点像我们生活中的技能，比如说骑自行车、游泳。骑自行车我怎么教你，第一步先买个自行车。第二步坐上去。第三步走你。我给你总结完了表达出去以后，你自己亲身操作的时候完全不是这个感觉。就包括我们刚才举的这两个例子，一个你可以取特殊值，既然是不定的，可以取一个特殊值。浩波老师举的例子，包括最后说的小技巧也是，这个最值可以猜想，它应该在特殊点。就算我们总结出来传达给学生，下一次考试中你依然是使用不出来的。这也是数学最有意思的一个点。我在上课老跟学生讲，只会意会不能言传。
主持人：全靠自己。
孟祥飞：对，像玄学的感觉。但是严格意义上来讲，数学思维在高中阶段实际上是有一个明确定义的。我们高中阶段有7个数学思维，如果你都学会。哪7个呢？最典型的是数形结合、分类讨论、转化化归、特殊与一般、有限无限、必然或然、函数与方程。这7个数学思维确实可以用言语总结出来，比如什么叫数形结合，给你一个代数式你应该想背后什么意义。给你一个几何图形，你应该想给它还原成代数方程。比如我们都知道笛卡儿还有一个很浪漫的传说，他给什么公主写信，写了一个心形曲线。最后证明果然是一个传说。但是你会发现，什么叫数形结合？是有标准定义的，直角坐标系下，每一个方程代表一个图形，每一个图形背后有一个方程。你就算把这个传达给学生，发现他们掌握起来也相当困难。在这边我特别想跟各位同学，尤其是看我们节目的很多都是准高三学生，我经常讲数学的学习是没有奇迹的。你经常可能会看到，反正我在网上就看到过，什么“不动脑筋学数学，人人都考140”。我真的特别想拿这个手机去砸他。基本上是不太可能的。如果你数学真的想学到一个不错的成绩，你不光得动脑筋，有时真的跟小研究一样，你适当的还要对知识有点兴趣。当然很多网友估计现在又开始吐槽了。说实话，这个真的非常非常重要。你看我们新课标下，当然教学标准是写给老师，教学标准分为三个层级。第一个叫知识。第二个叫方法与技能。第三，情感及价值观。第三个是什么意思？其实就是对各位同学在情感上，或者是你的意志品质上，你如果对这个数学题完全没有兴趣，动脑筋都是被动的，不可能主动地去掌握这个数学思维。
我在这边特别想结合今天的一个考题，今年课标1考完以后，圆锥曲线本来是一个非常非常难的点，但是很是很多同学反映这个题特别难。为什么？这道题考得非常到透，停留在第二个层级“方法与技能”。但是你现在看，很多人说解答其中的第一道三角，很多人直接跪了。为什么？这个题其实考察的就是数学思维，这个题不太在套路当中。
