南开翔宇学校

　　杨滨

　　进入初三，同学们都感到作业量增加，知识难度增大，但在数量庞大的作业题中，如何将知识分类细化，发现规律，查找漏洞，是能否在紧张的学习中取胜的关键之一。因此，本次把同学们在作业里出现的易混淆、易出错的几道例题进行分析比较，和同学们共同探讨。

　　例1

　　如图所示，AD、DC、CB分别切半圆⊙O于点A、E、B，且AD=3cm，BC=5cm，求直径AB的长度。

　　解：过点D作DF⊥CB于点F

　　∵AD、CB是切线

　　∴AD⊥AB，CB⊥AB

　　∴四边形ABFD是矩形

　　∴DF=AB，AD=FB   ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm

　　又∵AD、DC、CB是⊙O的切线，由切线长定理可知

　　∴AD=DE，CE=CB  ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm

　　∴在Rt△DCF中，DF=■=■=2■cm

　　∴AB=2■cm

　　本题是典型的运用切线长定理的例题，其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和，再结合作高这种辅助线的做法，最后运用勾股定理求出直径。

　　例2

　　如图所示，CD切半圆⊙O于点E，AB为直径，AD⊥CD，BC⊥CD且AD=3cm，BC=5cm，求CD的长度。

　　解：连接OE，过点A作AF⊥CB于点F

　　∵AD⊥CD，BC⊥CD

　　∴四边形AFCD是矩形    ∴DC=AF，AD=CF

　　∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm

　　又∵CD切半圆⊙O于点E  ∴OE⊥CD于E

　　∵AD⊥CD，BC⊥CD

　　∴AD∥OE∥CB，且AB为直径，O为圆心

　　∴点E是DC的中点

　　∴线段OE是梯形ABCD的中位线

　　∴OE=■(AD+BC)=4cm

　　∴AB=2OE=8cm

　　∴在Rt△ABF中，AF=■=■=2■cm

　　在做完例1后，同学们会认为例2和例1图形很类似，是同类题，但实际差别较大。例2中只有一条圆的切线，所以不符合切线长定理的条件，因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和，而是运用了梯形中位线的知识求出圆的半径，再用勾股定理计算CD的长。

　　例3

　　相交两圆的半径为■和■，公共弦为4，求这两个圆的圆心距。

　　解：本题分两种情况

　　第一种情况，公共弦AB与连心线O1O2交于点C(即O1O2=O1C+O2C)

　　∵O1O2垂直平分弦AB　　∴AC=2

　　∴在Rt△AO1C中，O1C=■=■=■

　　∴在Rt△AO2C中，O2C=■=■=1

　　∴O1O2=O1C+O2C=■+1

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