2018高考数学试题解析：提升数学能力是王道

　　2018年高考来袭，975万考生创近8年高考人数新高，首批00后登上高考舞台引发关注。作为全国人民共同关注的年度大考，高考是一个孩子命运的转折点，也是一个家庭希望的寄托处。千军万马争过独木桥的激烈竞争中，每一年的高考都牵动着无数人的心。

　　为了帮助今年的高考生深入了解真题，精准估分，同时帮助在校高中生了解高考命题趋势，新浪教育联手乐学高考的名师，为广大考生和家长在高考后第一时间解析高考全国卷。高考数学试题解析我们邀请到的是乐学高考数学名师张钢、杨浩波。

　　以下为直播文字实录：

　　主持人：各位新浪的网友大家好，欢迎关注新浪教育高考特别节目，2018年高考首日已经结束，在这个激动人心的时刻，新浪高考特别联合K12在线教育领导品牌乐学高考为大家送出高考期间的特别节目，“2018领跑未来 直击高考 真题解析”暨2018高考解析直播节目。今天我们请到直播间的是乐学高考两位数学老师，杨浩波老师和张钢老师，首先请张钢老师和网友打声招呼。

　　张钢：各位新浪的网友，大家晚上好，我是来自乐学高考的张钢老师。大家都称呼我“张Sir”。

　　主持人：非常欢迎张老师，张老师是乐学高考数学学科的负责人，也是首席讲师，有一线教学经验十多年，是非常资深的一位数学老师，再次欢迎张老师的到来。

　　接下来请杨浩波老师跟网友打声招呼。

　　杨浩波：Hello，屏幕前的观众朋友大家好，我是来自乐学高考的数学老师杨浩波，大家可以叫我波少。

　　主持人：非常欢迎杨老师，杨老师看起来非常年轻，估计今年扔在高考大军中可能还可以蒙混过关一把。杨老师是少年数学天才，心算能力非常强，在高中的时候就修完了大学的高数和现代课程，是非常优秀的。再次欢迎两位老师的到来。

　　去年新浪教育就联合乐学高考推出了高考试题的解析，受到了非常多考生和家长的欢迎。今年大家也是很期待咱们今天的这个环节。

　　首先，请两位老师来分析一下今年三套试题的难度以及特点，还有今天 的江苏和浙江数学大战，大家都在讨论说到底是江苏的题更难还是浙江的题更难，也想请两位老师给我们解析一下。

　　试题进化有规律 提升能力是王道

　　张钢：其实大家都可以翻翻每一年的高考分析，其实数学真题出来前，大家说的话都是类似的，稳中求变，变中求稳，试卷特点呢，就是重视双基，综合性，应用性，文化性，创新性。这种对在座的各位就是片汤话，没有任何的营养和价值。我们的理念是要给大家真正务实的东西，真正的干货，希望能真正帮助到你们。

　　在座的各位可能有一部分是今年参加高考的同学，还有一部分准高三的同学或学生家长，还有的呢可能就是不明真相的群众，过来看一看热闹。其实大家对高考数学都是非常关注的，段子可以说是层出不穷，曾经有一位网红教师，江苏数学大神葛军老师。今年就有同学说，今年的高考数学又是葛军老师出题了！葛军老师出面说，现在的高考数学实在太简单了。当然，我们都当段子说，在我们心中，葛军教授在数学命题上真的是出神入化，他能够精准的把握难度和区分度。这个能力也是我们终身都要追求的一个目标。

　　网上曾经做过一个调查，就说有七成的网友特别害怕数学，也可以说，高考数学就是用来淘汰这70%的人的，当然实际上没有这么夸张。但这确实反映出一个问题，那就是高考数学的的确确是需要一些方法和技巧的，我们今天就在第一时间结合着历年考题还有今年考试的特点，跟大家谈一谈备考建议。

　　杨浩波：没错，这就是你2019高考数学复习的起点，就是你数学涅槃重生的时刻，这一个小时，每一刻都是精华，你要庆幸，可能就因为这一个小时，一年之后你和别的同学在数学拉开了四五十分的差距，别人上二本，你上一本；别人上一本，你上重本；别人上重本，你上清北。

　　张钢：好，咱来看题。

　　主持人：详细说说今年的题目

　　张钢：我们先从压轴说，这也是大家特别关注的。就像出了语文试卷，大家特别关注作文一样，参与度高嘛！今年，无一例外，依旧还是一道导数题。我们先不讲他具体怎么解，到时候在乐学高考app我们会录相应的真题解析，我们今天主要聊一聊这道题怎么考的，我们又该怎么破。

　　我们先看一下题面：f（x）=1/x-x+alnx，两小问，第一小问要求这个函数的单调性，这道题第一小问，是要求一个复杂函数单调性，那面对一个超越函数，我们肯定要借助导数工具，这背后就要考察基本初等函数的导数公式和求导法则，由于这道题涉及到参数，必然会涉及到分类讨论，那这里我就教过我的学生分类讨论之旧约新传，旧约就是经典四连，比方有人冤枉你了，你都怎么回复，你是谁啊，你说啥呢，你干嘛啊，你别问我我不知道啊。

　　类似的，这里的讨论也有经典四连：啥函数？有根么？谁大啊？在哪了？当然我在这里说的都比较的口语化，至于背后的逻辑我就不在这里展开了。

　　那至于第二小问，很多同学说这个以中值定理为背景的题目。其实这个，我在近几年的课里都有所涉及，这类题目无非就是移项，通分，重组，再构造，转化成一个显得函数的单调性问题。在这里我们就不多说了，大家有兴趣可以看看我的一轮课程，导数双变量那节课，讲过非常类似的题目了。

　　当然我说的是旧约，新传的背后和零点分段有关，我就不在这里具体展开了，确实今天时间有限。

　　对于核心的内容，固定的结构，我们应该有足够的应对措施，这个背后就有很多同学关注今年我们有没有命中压轴了。因为16年新课标1卷，考了一道极值点偏移，我当年成功命中它，让很多同学直呼“舒爽”。考完之后直接到app的咖啡厅来发来贺电。在我看来，这件事出乎意外，又在意料之中。出乎意外就是指，历年的地方试卷有考过，比如说天津卷，湖北卷。意料之中是指，它的核心考查内容是单调性，这也是在高中阶段最重要的性质了，我们试想，在单调性为核心的基础之上，加上美丽的包装，或者是极值点偏移，或是双零点问题，或者更一般的双变量问题，那我们面对他们的时候，会不会更从容。因为最高纲领我们如果可以get到了，就可以做到融会贯通，各个击破。

　　其实预测这件事，是有一定的概率的，但的的确确，试题进化有他的一定的规律性，可能前两年我们运气比较好，预测到了，因为我们一直以来也在关注整个试题的规律，与命题人做着博弈。但是我们坚信一点，提升数学能力才是王道。如果你能力足够强的话，其实不需要预测。就像波少这样的，见题灭题。

　　杨浩波： 没有没有，

　　张钢：固定的结构还有，我们再来看今年的全国新课标2卷，f（x）=e^x-ax^2，第一小问，是在a=1的情况下，证明不等式关系，这道题参数都被具化了，非常典型的端点效应。当然这道题通过求导一次，是不够的，需要再次求导，也就是我们常说的二阶导。那对于二阶导的小草图，我们可以清晰地画出来，通过导数的小草图慢慢地倒到一阶导的单调性，进而判定它的最值，而后就可以清楚原函数的单调性了，很常规。那至于第二小问，由于a>0，我们直接将其除到不等式另一侧，进行参变分离即可，后期对构造的新函数采用求导，分析其单调性和最值。大家也能感受得到这道题目真的是相当的“常规”。这类常规操作，我们还要有哪些储备呢？比方说17年所考查的隐零点问题，设而不求，整体代换的操作思路，比方说还有同学们比较挠头的导数不等式，但如果我们通晓它的紧密交织的关系图，就会发现其命题方向的脉络。除此之外解题技巧也有，像变换主元、双元问题的降维打击等等，我信手拈来说出这么多导数压轴的处理特点，那回过来再看今年的题目，完全在我们的掌控之中了。

　　杨浩波：今年其实我们也挺惊讶的，一考完学生就在我们的咖啡厅里马上就抱怨，说国I的概率题马上就炸了，题序改变了。我们先不看题，先讲一下，之前考前同学们发来小道消息，说概率统计会和圆锥曲线互换位置，没想到真正考试考出来会发现真的概率统计的题放到了第20题。但是你会发现实际上仍然没有脱离考纲，只不过命题组更想倾向于稳中求变。今年这一道概率统计的题，这上面第一步的解题逻辑，第一问说的是你需要从200个物件当中抽出20个物件，判断这20个物件当中有没有两个物件正好是次品，每一个物件是次品的概率是P。这一段话很多人就听不懂，其实就在于不能理解二项分布和超几何分布具体的区别。我们说过二项分布和超几何分布有什么区别，二项分别是指你要做N次实验，每次实验的概率都是一个P，而超几何分布是只做一次实验，考虑一次实验当中次品的个数。你会发现这个题，因为每一个物件的概率都是P，你并不知道这200个物件当然到底几个次品。显然第一问你就应该理解是一个二项分布，这是它的第一个难点。而且你会发现这道题最核心的问题在哪儿，最核心的问题是问P取什么值才达到最大，那么这个地方，我们就要通过导函数，对P要求导，得到这个函数，那么你会发现，最后导函数中，就有1-10p这么一个整体，所以p应该是1/10取得一个最大值。这个时候其实大家如果学到大学就会明白，实际上是把一个大学的内容给下放了，是一个极大概率似然的理念。不理解这个概念没有一点关系。这题的难度最主要是在于第一问，把概率统计的大题给上到20题，让你理解一下二项和超几何的区别，以及与导数相结合这两点，你会发现只要有一定的数学能力以及一定的数学思想，这道题难度并不是很大。第二问的问法，我这里就不展示，给大家讲一下。今年概率统计第二问的问法非常之传统，你会发现16年那道国I，判断到底是在哪个点处期望值是最优的，同样第二问跟今年的第二问的思想是如出一辙的，这是关于国I的这道题，很多人说考完概率就炸了，其实并不炸，只要理解核心就可以了。