4.不等式

　　考试内容：

　　不等式。不等式的基本性质。不等式的证明。不等式的解法。含绝对值的不等式。

　　考试要求：

　　(1)理解不等式的性质及其证明。

　　【导读】不等式的性质是不等式的理论支撑，其基础性质源于数的大小比较。要注意以下几点：

　　1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算；

　　2.通过复习要强化不等式“运算”的条件。如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd；

　　3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系；

　　4.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石；

　　5.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用；

　　6.对两个(或两个以上)不等式同加(或同乘)时一定要注意不等式是否同向(且大于零)；

　　7.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论。

　　【试题举例】

　　已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是(　　)

　　A.a²<b²  B.ab²<a²b  C.1/ab*b<1/a*ab  D.b/a<a/b

　　【答案】C

　　【解析】若a<b<0⇒a²>b²，A不成立；若{ab>0,a<b}⇒a²b<ab²，B不成立；若a＝1，b＝2，则b/a＝2，a/b＝1/2⇒b/a>a/b，所以D不成立，故选C.

　　(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。

　　【导读】1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握。

　　2.对于公式a＋b≥2√ab，ab≤(a+b/2)²要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。

　　3.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误。

　　【试题举例】

　　如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)

　　A.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

　　B.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

　　C.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

　　D.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

　　【答案】A

　　【解析】∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2√ab，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，“＝”成立；又4＝cd≤(c+d/2)²，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，“＝”成立；综上得ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值都为2，选A.

　　(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

　　【导读】1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程。有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的。

　　2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在学习中，不等式的证明除常用的三种方法外，还有其他方法，如比较大小。证明不等式的常用方法有：差、商比较法、函数性质法、分析综合法和放缩法。要能了解常见的放缩途径，如：利用增或舍、分式性质、函数单调性、有界性、基本不等式及绝对值不等式性质和数学归纳法等。有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用。

　　3.比较法有两种形式：一是作差，二是作商。用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法。它的依据是不等式的基本性质。步骤是：作差(商)→变形→判断。变形的目的是为了判断。若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式。若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系。

　　【试题举例】

　　当x∈(1,2)时，不等式x²＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是　　　.

　　【答案】m≤－5

　　【解析】构造函数：f(x)＝x²＋mx＋4，x∈[1,2].由于当x∈(1,2)时，

　　不等式x²＋mx＋4＜0恒成立。则f(1)≤0，f(2)≤0，即

　　1＋m＋4≤0,4＋2m＋4≤0.解得：m≤－5.

　　(4)掌握简单不等式的解法。

　　【导读】1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程。因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则。

　　2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想。

　　3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确。

　　【试题举例】

　　不等式：x-1/x*x-4>0的解集为(　　)

　　A.(－2,1)  B.(2，＋∞)

　　C.(－2,1)∪(2，＋∞)　  D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

　　【答案】C

　　【解析】不等式：x-1/x*x-4>0，∴x-1/(x+2)(x-2)>0，原不等式的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，选C.

　　(5)理解不等式│a│－│b│≤│a＋b│≤│a│＋│b│.

　　【导读】1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值。常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方。

　　2.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新。在考试中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要学会方法，切不可以题论题。

　　3.不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础。纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明；②解不等式；③取值范围的问题；④应用题。

　　【试题举例】

　　不等式|2x－1|－x＜1的解集是　　　　.

　　【答案】(0,2)

　　【解析】|2x－1|－x＜1⇒|2x－1|＜x＋1⇒－(x＋1)＜2x－1＜x＋1

　　∴{-(x+1)<2x-1,2x-1<x+1}⇒0＜x＜2.

　　5.三角函数

　　考试内容：

　　角的概念的推广。弧度制。

　　任意角的三角函数。单位圆中的三角函数线。同角三角函数的基本关系式：sin²α＋cos²α＝1，sina/cosa＝tanα，tanαcotα＝1.正弦、余弦的诱导公式。

　　两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。

　　正弦函数、余弦函数的图象和性质。周期函数。函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象。正切函数的图象和性质。已知三角函数值求角。

　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。

　　考试要求：

　　(1)了解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。

　　【导读】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，复习中注意“三基”的落实。一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目。三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念。

　　【试题举例】

　　α是第四象限角，tanα＝－5/12，则sinα等于(　　)

　　A.1/5  B.－1/5  C.5/13  D.－5/13

　　【答案】D

　　【解析】α是第四象限角，tanα＝－5/12，则sinα＝－1/1+√tana*tana＝－5/13.

　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。

　　【导读】同角三角函数基本关系式是其他公式推导的理论基础。对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括。三角公式是三角函数的心脏，它贯穿于整个的三角运算过程之中。在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值。

　　【试题举例】

　　已知简谐运动f(x)＝2sin(π/3x＋φ)(|φ ＜)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

　　A.T＝6，φ＝π/6  B.T＝6，φ＝π/3

　　C.T＝6π，φ＝π/6  D.T＝6π，φ＝π/3

　　【答案】A

　　【解析】依题意2sinφ＝1，结合|φ ＜π/2可得φ＝π/6，易得T＝6，故选A.

　　(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

　　【导读】三角函数的化简与求值类型的高考题型非常丰富，求值与化简过程中应当注意同名三角函数与同角三角函数的化归。不仅要能熟练推证公式(建议自己推证一遍所有公式)、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用；注意拆角、拼角技巧，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；注意倍角的相对性，如3α是3a/2的倍角；注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号。注意“1”的灵活代换，如1＝sin²α＋cos²α＝sec²α－tan²α＝csc²α－cot²α＝tanα•cotα.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀。利用同角三角函数的关系及诱导公式进行化简、求值、证明时，要细心观察题目的特征，注意培养观察、分析问题的能力，并注意做题后的总结，总结一般规律。如：“切割化弦”“1的巧代”，sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα这三个式子间的关系。最后要时时注意角的范围的讨论。

　　公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如拆角、拼角技巧等。

　　【试题举例】

　　“θ＝2π/3”是“tanθ＝2cos(π/2+θ)”的(　　)

　　A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

　　C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

　　【答案】A

　　【解析】tanθ＝tan2/3π＝－√3，2cos(π/2+θ)＝2sin(－θ)＝－2sin(2/3π)＝－√3可知充分成立，当θ＝0°时tanθ＝0,2cos(π/2+θ)＝0可知不必要。故选A.

　　(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

　　【导读】化简要求：

　　(1)能求出值的应求出值。

　　(2)使三角函数种数尽量少。

　　(3)使项数尽量少。

　　(4)尽量使分母不含三角函数。

　　(5)尽量使被开方数不含三角函数。

　　常用方法：

　　(1)直接应用公式。

　　(2)切割化弦，异名化同名，异角化同角。

　　(3)形如cosαcos2αcos2²α…cos2ⁿα的函数式，只需将分子、分母分别乘以2^n＋1sinα，应用二倍角正弦公式即可。

　　注意事项：

　　(1)公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆。

　　(2)要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率。

　　(3)角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。

　　【试题举例】

　　sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)

　　A.0　  B.

　　C.√3/2　  D.1

　　【答案】D

　　【解析】sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin(15°＋75°)＝1，选D.

　　(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

　　【导读】三角函数图象的平移变换及伸缩变换是历届高考的必考知识点，应当注意应用逆向思维的方法去验证所得的结论。

　　三角函数图象是三角函数考查的重要内容，通过图象及方程可以用函数的观点进一步研究其图象与性质。本节是图象和性质的综合应用的内容，命题主要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法，并注意三角知识的载体作用，注意和其他知识间的关联；判断y＝－Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反区间即可，一般常用数形结合。而求y＝Asin(－ωx＋φ)(－ω＜0)单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之。三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性；求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。

　　注意点：1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。

　　2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。

　　3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。

　　4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。

　　5.解析式的求解中应用好图象，紧扣五点中的第一个零点，要注意图象的升降情况，注意数形结合的思想。

　　【试题举例】

　　已知函数f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)

　　A.关于点(π/3，0)对称  B.关于直线x＝π/4对称

　　C.关于点(π/4，0)对称  D.关于直线x＝π/3对称

　　【答案】A

　　【解析】由函数f(x)＝sin(ωx＋π/3)(ω＞0)的最小正周期为π得ω＝2，由2x＋π/3＝kπ得x＝1/2kπ－π/6，对称点为(1/2kπ－π/6，0)(k∈Z)，当k＝1时为(π/3，0)，选A.

　　(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

　　【导读】解决给式(值)求值问题常注意：注意整体思想在解题中的应用；①要注意观察和分析问题中各角之间的内在联系，把“待求角”用“已知角”表示出来.②要注意条件中角的范围对三角函数值的制约作用，确定所涉及的每一个角的范围，以免出现增(失)解。

　　根据条件计算某个角的三角函数值或者求某个三角式子的值或者求某个角的大小等，在考试中选择、填空、解答题均可出现，并且题目大都有一定的技巧性与灵活性。

　　【试题举例】

　　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝√7，c＝√3，则B＝　　　　.

　　【答案】5π/6

　　【解析】由正弦定理得cosB＝1+3-7/2*1*√3＝－√3/2，所以B＝5π/6.

　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

　　【导读】除了正余弦定理外，还应掌握三角形中一些其他关系式在解题中的应用。如在△ABC中A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，A＞B⇔a＞b⇔cosA＜cosB.

　　解斜三角形主要是已知三角形中的某些边或角，去求另外的边或角。多为选择题或填空题，属基础题.(1)利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).(2)利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

　　【试题举例】

　　在△ABC中，AB＝√3，A＝45°，C＝75°，则BC等于(　　)

　　A.3－√3  B.√2  C.2  D.3＋√3

　　【答案】A

　　【解析】∵AB＝√3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：

　　a/sinA＝c/sinC，⇒BC/sin45°＝AB/sin75°＝√3/(√6+√2)/4

　　∴BC＝3－√3.

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