08年高考数学备考：三角函数专题热点复习指导

　　天津市第四十二中学 张鼎言

　　8. 若0

　　A. sinx<-x

　　B. sinx>-x

　　C. sinx<-x2

　　D. sinx>-x2

　　解：用特殊值法，令x=-，sin-=-，-g-=-，-g-=-

　　排除A、B、C，选D。

　　本题也可用g(x)=sinx--x，H(x)=sinx--x2

　　用求导的方法对g(x)、H(x)进行分析。

　　注：本题不等式左边是三角函数(属超越函数)，右边是代数函数，用初等方法无法解决。

　　9. 已知函数y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-，x∈R(其中ω>0)。

　　(1)求函数f(x)的值域；

　　(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x)，x∈(a，a+π]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y=f(x)，x∈R的单调区间。

　　解：(1)y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-

　　=-sinωx-cosωx-1

　　=2sin(ωx--)-1

　　∴-3f(x)1

　　分析：(2)把f(x)的图像作一个简单的类比，相当于y=sinx在(0，2π]内在直线y=0交点的个数是两个，且仅是两个。

　　而(α，α+π]是长度为π的左开右闭区间，

　　∴f(x)的周期为π

　　∴-=π→ω=2

　　∴f(x)=2sin(2x--)-1

　　其单调增区间为2kπ--2x--2kπ+-

　　kπ--xkπ+-

　　注：本题(2)是由图像的特征确定周期，类比可使问题简化。

　　10. 将函数y=sinωx(ω>0)的图像按向量α=(--，0)平移，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是( )

　　A. y=sin(x+-)

　　B. y=sin(x--)

　　C. y=sin(2x+-)

　　D. y=sin(2x--)

　　解：y=sinωx按-=(--，0)平移后，得y=sinω(x+-)

　　sinω(-+-)=-1

　　由图像ω(-+-)=-，ω=2

　　∴y=sin(2x+-)，选C

　　11. 设函数f(x)=-·（-+-)，其中向量-=(sinx，-cosx)，-=(sinx，-3cosx)，-=(-cosx，sinx)，x∈R

　　(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小值的正周期；

　　(Ⅱ)将函数f(x)的图像按向量-平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的-。

　　解：(Ⅰ)由已知f(x)=(sinx，-cosx)·（sinx-cosx，-3cosx+sinx)

　　=cos2x-sin2x+2=-cos(2x+-)+2

　　fmax(x)=-+2，T=π

　　(Ⅱ)∵平移后图像关于坐标原点成中心对称，图象先向下平移2个单位

　　φ(x)=cos[2(x+φ)+-]，φ(0)=0

　　∴cos(2φ+-)=0，2φ+-=kπ+-

　　φ=-+-，当k=0，|φ|最小

　　∴φ=-

　　-=(--，-2)

　　(三)解三角形

　　复习导引：正、余弘定理的重要作用是“边”与“内角的函数”的转化，如第4、5、6题。第2、3题提供了两条重要的思考方法。在三角形面积问题中最常用的公式是SVABC=-bcsinA，如第7、8题。在解三角形时，随时注意内角的变化范围，在第2、6题中都有体现。

　　1. 2002年在北京召开的数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______________。

　　分析：考查图形，由四个直角三角形全等，在同一个直角三角形内，两条直角边的差是1，又斜边是5，由此勾3，股4，弦5。

　　∴sinθ=-，cosθ=-，∴cos2θ=-

　　2. 如果VA1B1C1的三个内角的余弦值分别等于VA2B2C2的三个内角的正弦值，则( )

　　A. VA1B1C1和VA2B2C2都是锐角三角形

　　B. VA1B1C1和VA2B2C2都是钝角三角形

　　C. VA1B1C1是钝角三角形，VA2B2C2是锐角三角形

　　D. VA1B1C1是锐角三角形，VA2B2C2是钝角三角形

　　解：VA1B1C1三个内角的余弦值均大于0，VA1B1C1为锐角三角形，假定VA2B2C2也为锐角三角形，

　　sinA2=cosA1=sin(--A1)→A2=--A1，

　　同理B2=--B1，C2=--C1

　　A2+B2+C2=--(A1+B1+C1)=-(矛盾)

　　∴VA2B2C2为钝角三角形，选D

　　3. 设P是VABC所在平面上一点，SVABC表示VABC的面积，λ1=-，λ2=-，λ3=- ，定义p(P)=(λ1，λ2，λ3)，若G是VABC的重点，f(Q)=(-，-，-)，则( )

　　A. 点Q在VGAB内

　　B. 点Q在VGBC内

　　C. 点Q在VGCA内

　　D. 点Q与点G重合

　　解：假定VABC为正三角形，则f(G)=(-，-，-)

　　-=-，点Q在过G点平行于边AC的直线lAC上，-=->-，点Q又在平行于边BC的直线lBC上。lAC与lBC交于点Q，Q在VGAB内，选A

　　注：用“特殊三角形”，令VABC是正三角形，简化思考。

　　4.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆-+-=1上，则-=_____________

　　解：由椭圆方程 a'=5，b'=3，c'=4

　　∴A、C为椭圆焦点，B在椭圆上：

　　由正弦定理-=-=-=-，(a、b、c为△ABC三条边)

　　5 设a、b、c分别为VABC的三内角A、B、C所对的边，则a2=b(b+c)是A=2B的( )

　　(A)充要条件

　　(B)充分而不必要条件

　　(C)必要而不充分条件

　　(D)既不充分也不必要条件

　　答案：A

　　6.设锐角三角形ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA

　　(1)求B的大小；

　　(2)求cosA+sinC的取值范围。

　　解：(1)a=2bsinA，sinA=2sinBgsinA

　　∴sinB=-，0°

　　(2)cosA+sinC=cosA+sin[180°-(A+30°）]

　　=cosA+sin(A+30°）

　　=-sinA+-cosA

　　=-(sinA+-cosA)

　　=-sin(A+60°）

　　∵A+B>90°

　　∴A>60°，∴120°

　　∴-<-sin(A+60°）<-

　　注：解三角形，A，B，C是三角内角，充分注意角的变化范围。

　　7.如图，已知VABC边长为l的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过VABC的中心G，设∠MGC=α(-α-)

　　(1)试将VAGM、VAGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数

　　(2)求y=-+-的最大值与最小值

　　解：(Ⅰ)在VAGM中，由正弦定理：

　　-=-

　　其中∠MAG=30°，

　　∠AMG=180°-(30°+α)，

　　AG=-·■=-，GM=-

　　同理，在VAGN中，GM=-

　　S1=-AG·GMsinα=-

　　S2=-AG·GNsin(180°-α)=-

　　(Ⅱ)y=-+-=-

　　=72(3+cot2α)

　　∵-α-

　　∴--cotα-，0cot2α-

　　∴ymin=216，ymax=240

　　8. 已知VABC的面积为3，且满足0-g-6。设-和-的夹角为θ

　　(1)求θ的取值范围；

　　(2)求函数f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ的最大值与最小值。

　　解：(1)SVABC=-bcsinθ=3，bc=-

　　由已知0-g-6，0cotθ1

　　∴-θ-

　　(2)f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ

　　=1-cos(-+2θ)--cos2θ

　　=sin2θ--cos2θ+1

　　=2sin(2θ--)+1

　　由(1)-2θ---

　　-sin(2θ--)1

　　∴fmax(θ)=3，fmin(θ)=2，

　　此时分别为θ=-，θ=-

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