2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函教、幂函数)

　　(1)函数

　　①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

　　②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。

　　③了解简单的分段函数，并能简单应用。

　　【试题举例】

　　客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是(　)

　　【答案】C

　　【解析】由已知条件可得，当t∈[0,1]时，s＝60t；

　　当t∈[1,1.5]时，s＝60×1＝60；当t∈[1.5,2.5]时，s＝80(t－1.5)＋60＝80t－60，∴s＝{60t，0≤t≤1，60，1＜t≤1.5，80t－60，1.5＜t≤2.5}.由此函数解析式可得其函数图象为C选择支的图象，故应选C.

　　④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

　　【试题举例】(2008·广东)

　　已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是(　)

　　A.最小正周期为π/2的奇函数 B.最小正周期为π/2的偶函数

　　C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

　　【答案】D

　　【解析】求三角函数的最小正周期的一般思路是先把三角函数化简为正弦型或余弦型、正切型的形式，再利用最小正周期公式计算，因为f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝(1＋2cos2x－1)sin2x＝2sin2xcos2x＝1/2sin22x＝1/4·＝－1/4cos4x，所以f(x)的最小正周期T＝＝，可验证得f(－x)＝f(x)，故f(x)是最小正周期为π/2的偶函数，答案为D.

　　⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质。

　　【试题举例】

　　在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　)

　　A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

　　B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

　　C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

　　D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

　　【答案】B

　　【解析】考查函数性质，由f(x)＝f(2－x)得f(x)的对称轴为x＝1.又由偶函数得f(x)图象关于y轴也对称。在[1,2]上为减函数，画出示意图可得。

　　【导读】函数是高考数学中极为重要的内容，函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础。纵观近几年来的高考试题，函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，约占全卷的30%，函数的性质及图象变换多以选择题形式出现，并且低难度和高难度的试题都有可能出现。函数的解答题，综合性较强，难度较大，要进行周密地分析、准确地计算来解决。关于这部分的应用题，不仅有解答题，还可能有选择题或填空题。高考正在逐步增加应用题的考查力度，并且应用问题多在知识网络交汇处命题。因此，在复习过程中应注意加强对分析问题、解决综合问题能力方面的训练。

　　近几年的高考真题对函数的考查常着重如下方面：

　　①对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现，在学习、复习函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线。

　　②函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大。解答上述问题时要注意数学思想方法的应用，函数这一章重要的数学思想方法有方程与函数的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想，数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法等。

　　③通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，体现了新课标重视应用能力的考查，注意培养学生阅读、理解能力，提炼数学问题的能力，以及用数学语言表达的能力，要求学生仔细阅读，抓住信息，透彻理解，准确解题。

　　④新课标新增内容中与函数有关的内容——特别像函数的零点将是高考的热点，以函数为载体考查方程根的个数的判断，以及求参数的取值范围将是重点考查的问题。

　　(2)指数函数

　　①了解指数函数模型的实际背景。

　　②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

　　③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

　　④知道指数函数是一类重要的函数模型。

　　(3)对数函数

　　①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

　　【试题举例】(2008·广东)

　　命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　)

　　A.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

　　B.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

　　C.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

　　D.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

　　【答案】B

　　【解析】写一个命题的逆否命题可分为两步完成，即先写其逆命题，再写逆命题的否命题，也可以倒过来，关键要注意写一个命题的否命题时，既要否定条件，又要否定结论、原命题的逆命题是“若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”.再对其条件和结论分别否定，即得所求的逆否命题，故答案为B.

　　②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

　　③知道对数函数是一类重要的函数模型。

　　【试题举例】

　　设f(x)＝lg(2/1－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是(　)

　　A.(－1,0) B.(0,1) 

　　C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

　　【答案】A

　　【解析】由函数f(x)＝lg(2/1－x＋a)为奇函数，可得f(0)＝lg(2＋a)＝0，

　　解之得2＋a＝1，即a＝－1，∴f(x)＝lg(2/1－x＋a)＝lg1+x/1-x，由f(x)＜0可得lg1+x/1-x＜0，即0＜1+x/1-x＜1，解之得－1＜x＜0， 由此可得x的取值范围为(－1,0)， 故应选A.

　　点评：本题通过对数复合函数与函数的奇偶性及函数不等式的求解等知识点的交汇，考查了考生对函数的性质及不等式的解法的掌握，以及灵活选择解题策略，决定解题方向的解题机智。

　　④了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1).

　　(4)幂函数

　　①了解幂函数的概念。

　　②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1/x，y＝x1/2的图象，了解它们的变化情况。

　　【试题举例】

　　设a∈{－1，1，1/2，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　)

　　A.1,3 B.－1,1 C.－1,3 D.－1,1,3

　　【答案】A

　　【解析】本题可利用上述几种幂函数图象，观察图象可直观作出判断。

　　(5)函数与方程

　　①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

　　②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

　　【试题举例】

　　设函数y＝x3与y＝1/2x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　)

　　A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

　　【答案】B

　　【解析】本题考查函数零点分布。将问题首先转化：令f(x)＝x3－1/2x－2，显然f(x)是连续的，且f(1)＝1－1/2－1＝－1＜0，f(2)＝23－1/20＝7＞0，所以x0∈(1,2).

　　(6)函数模型及其应用

　　①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

　　②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

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