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知识大盘点:平面向量

http://www.sina.com.cn   2009年02月16日 16:49   新浪考试

  9.平面向量

 


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  (1)平面向量基本定理,如果e1、e2是同一平面内非共线向量,那么该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2.

  ①两个向量平行的充要条件

  a∥b⇔a=λb

  设a=(x1,y1),b=(x2,y2)

  a∥b=x1x2-y1y2=0

  ②两个非零向量垂直的充要条件

  a⊥b⇔a·b=0

  设a=(x1,y1),b=(x2,y2)

  a⊥b=x1x2+y1y2=0

  θ=〈a,b〉.

  cosθ=x1x2+y1y2/x21+y21

  x22+y22

  (2)数量积的性质:设e是单位向量,〈a,e〉=θ

  ①a·e=e·a=|a|cosθ;②当a,b同向时,a·b=|a||b|,特别地,a2=a·a=|a|2,|a|=;当a与b反向时,a·b=-|a||b|;③a⊥b⇔a·b=0;④非零向量a,b夹角θ的计算公式:cosθ=,当θ为锐角时,a·b>0,且ab不同向,a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件;当θ为钝角时,a·b<0,且ab不反向,a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件;⑤|a·b|≤|a||b|.

  10.解三角形

 

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  (1)正弦定理

  a/sinA=b/sinB=c/sinC===2R.

  正弦定理的三种变式:

  ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

  ②sinA=a/2r,sinB=b/2r,sinC=c/2r.

  ③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

  (2)余弦定理

  a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2cacosB

  c2=a2+b2-2abcosC或cosA=b2+c2-a2/2bc

  cosB=a2+c2-b2/2ac cosC=a2+b2-c2/2ab

  余弦定理的特殊情况:

  ①在△ABC中,若a2<b2+c2,则0°<A<90°;

  反之,若0°<A<90°,则a2<b2+c2.

  ②在△ABC中,若a2=b2+c2,则A=90°;

  反之,若A=90°,则a2=b2+c2.

  ③在△ABC中,若a2>b2+c2,则90°<A<180°;

  反之,若90°<A<180°,则a2>b2+c2.

  (3)解斜三角形有下表所示的四种情况:

已知条件

应用定理

一般解法

一边和二角
(如aBC)

正弦定理

ABC=180°
求角A,由正弦定理
求出bc
S△=acsinB
在有解时只有一解

两边和夹角
(如abC)

余弦定理

由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由ABC=180°求出另一个角
S△=absinC
在有解时只有一解

三边
(abc)

余弦定理

由余弦定理求出角AB,再利用ABC=180°,求出角C
S△=absinC
在有解时只有一解

两边和其中
一边的对角
(如abA)

正弦定理

由正弦定理求出角B,由ABC=180°求出角C,再利用正弦定理求出c边,S△=absinC可有两解,一解或无解,详见下表

  在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

 

A为锐角

A为钝角或直角

   

关系式

absinA

bsinA<a<b

ab

a>b

解个数

一解

两解

一解

一解

  (4)解斜三角形有着广泛的应用,如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的知识。解此类题的一般步骤是:

  ①阅读理解,画出示意图,分清已知和所求,尤其要理解应用题中有关名词和术语,如坡度、仰角、象限角、方位角等。

  ②分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形。

  ③解这些三角形,求出答案。

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